牛客小白月赛80 解题报告 | 珂学家 | 前缀和优化的二分 + 二分图最大匹配
前言
整体评价
这场好像比前几场小白月整体要简单。《放学后》系列贯穿3题，突然想起来东野圭吾的《放学后》，现在的故事情节，还历历在目。
E，F挺有意思的，只是仅仅看着像博弈。
A. 矩阵快速幂签到
非常优秀的一道题，明示矩阵幂
但是手玩一下，可以发现规律
a(n) = n + 1
import java.io.BufferedInputStream;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
int n = sc.nextInt();
int mod = 998244353;
System.out.println((n + 1) % mod);
}
}
B. 第一次放学
贪心，就是找到最大的组的数p
k <= n - p, 则为p
k > n - p, 则为n - k
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt(), k = sc.nextInt();
Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
int v = sc.nextInt();
hash.merge(v, 1, Integer::sum);
}
// 获取最大的组
int p = hash.values().stream().mapToInt(Integer::valueOf).max().getAsInt();
if (k <= n - p) {
System.out.println(p);
} else {
System.out.println(n - k);
}
}
}
C. 又放学辣（简单）
和D一起讲
D. 又放学辣（进阶）
大致两种思路
-
在线解法
二分框架，但是核心check逻辑需要预处理前缀和/后缀和优化加速
-
离线
需要把查询按大小把顺序打乱，这样就可以类似双指针来优化，大大降低时间复杂度
在线解法，预处理前缀和/后缀和, 二分解法，感觉更容易易读一些.
import java.io.BufferedInputStream;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;
import java.util.function.BiFunction;
import java.util.stream.Collectors;
public class Main {
static int solve(int left, int idx, BiFunction<Integer, Integer, Boolean> checker) {
int l = 0, r = left;
while (l <= r) {
int m = l + (r - l) / 2;
if (checker.apply(m, idx)) {
r = m - 1;
} else {
l = m + 1;
}
}
return l;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt(), k = sc.nextInt();
int[] groups = new int[m + 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
int v = sc.nextInt();
groups[v]++;
}
// 这边维护后缀和
int[] cnt = new int[n + 1];
int[] suf = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= m; i++) {
suf[groups[i]] += groups[i];
cnt[groups[i]] += 1;
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
suf[i] += suf[i + 1];
cnt[i] += cnt[i + 1];
}
// 定义核心check逻辑
BiFunction<Integer, Integer, Boolean> checker = (mid, idx) -> {
// check代码
long need = suf[mid] - cnt[mid] * mid;
if (groups[idx] >= mid) {
need -= (groups[idx] - mid);
}
return need <= k;
};
List<Integer> res = new ArrayList<>();
for (int i = 1; i <= m; i++) {
if (n - groups[i] < k) {
res.add(-1);
} else {
res.add(solve(n - groups[i], i, checker));
}
}
System.out.println(res.stream().map(String::valueOf).collect(Collectors.joining(" ")));
}
}
E. 一种因子游戏
二分图最大匹配模板
也想不到其他的一些解法，没法有效证明，感觉这题出的太板了。
import java.io.BufferedInputStream;
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.*;
public class Main {
// 无权二分图最大匹配算法 O(VE)
static boolean match(int u, int[] link, boolean[] used, List<Integer>[]g) {
for (int v: g[u]) {
if (used[v]) continue;
used[v] = true;
if (link[v] == 0 || match(link[v], link, used, g)) {
link[u] = v;
link[v] = u;
return true;
}
}
return false;
}
static int gcd(int a, int b) {
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
int n = sc.nextInt();
int[] arr = new int[n];
int[] brr = new int[n];
List<Integer>[]g = new List[2 * n];
Arrays.setAll(g, x -> new ArrayList<>());
for (int i = 0; i < n; i++) {
arr[i] = sc.nextInt();
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
brr[i] = sc.nextInt();
}
boolean ok = true;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (gcd(arr[i], brr[j]) == 1) {
g[i].add(j + n);
g[j + n].add(i);
}
}
if (g[i].size() == 0) {
ok = false;
break;
}
}
if (!ok) {
System.out.println("Alice");
return;
}
int ans = 0;
int[] link = new int[2 * n];
for (int i = n; i < 2 * n; i++) {
if (link[i] != 0) continue;
boolean[] used = new boolean[2 * n];
used[i] = true;
if (match(i, link, used, g)) {
// 找到一条增广路径
ans++;
}
}
System.out.println(ans < n ? "Alice" : "Bob");
}
}
时间复杂度为O(EV) = O(n^3)
F. 一种异或游戏
n为Alice的牌数，m为Bob的牌数
先引入几个概念
-
被限定的数，特指 Alice牌中的数，且能在 Bob牌中找到 异或K
-
限定的数，特指 Bob牌中的数，能挤兑Alice牌，构建异或K
我们需要的是
-
被限定的数的总个数，注意是总个数 Hits
-
限定的数的种类数，注意是种类数 Category
举例：
Alice: 2 2 2 4 3 5
Bob: 2 2 11
其中被限定总个数为4, 分别为 2, 2, 2, 4
限定数为1个，即2(去重)
再理解以上这几个概念后，后面的分类讨论，基本就这几个概念完成的
-
对于 n <= m
如果 Hits > 1, 则Alice必输 反之 Alice一定赢，先出完牌也算赢
-
n > m
这边还需要在细分下
-
n - Hits + 1 >= m, Alice必赢
-
n - Hits + 1 < m
m - (n - Hits) < Category, Alice必赢，因为Bob必输
m - (n - Hits) >= Category, Bob必赢，Alice输了
-
import java.io.*;
import java.util.*;
public class F {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
int n = sc.nextInt();
int m = sc.nextInt();
int k = sc.nextInt();
int[] arr = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
arr[i] = sc.nextInt();
}
int[] brr = new int[m];
for (int i = 0; i < m; i++) {
brr[i] = sc.nextInt();
}
int maxAlice = Arrays.stream(arr).max().getAsInt();
int maxBob = Arrays.stream(brr).max().getAsInt();
// 得用数组hash，替代java容器hashmap，卡常
int[] alice = new int[maxAlice + 1];
int[] bob = new int[maxBob + 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
alice[arr[i]]++;
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
bob[brr[i]]++;
}
// --------------------------------------
// 下面是核心代码
// 计算被限制的数，以及限制数的种类
int category = 0;
int hits = 0;
for (int i = 0; i <= maxAlice; i++) {
if (alice[i] > 0 && (i ^ k) <= maxBob && bob[i ^ k] > 0) {
hits += alice[i];
category++;
}
}
// 胜负规则
if (n <= m) {
if (hits > 1) {
System.out.println("Bob");
} else {
System.out.println("Alice");
}
} else {
if (n - hits + 1 >= m) {
System.out.println("Alice");
} else {
if (m - (n - hits) < category) {
System.out.println("Alice");
} else {
System.out.println("Bob");
}
}
}
}
}
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