原函数、不定积分、定积分、变限积分关系傻傻记不清

原函数与不定积分的关系
,这里F(x)为f(x)的任意一个原函数。

函数在区间上的可积性
（1）可积的必要条件
若f(x)在闭区间 [a,b] 上可积分，那么f(x) 在闭区间 [a,b] 上有界。
（2）可积的充分条件
a) f(x)在 [a,b] 上连续
b) f(x)在 [a,b] 上有界且只有有限个间断点。
c) f(x)在 [a,b] 上单调。

变限积分函数的连续性与可导性
若x0属于 [a,b] 内任意一点。
(1) f(x)在闭区间 [a,b] 上可积，则变上限积分 是[a,b] 上的连续函数，换句话说，原函数连续。
(2) f(x)在闭区间 [a,b] 上连续，则变上限函数 是[a,b]上的可导函数，且 F(x) = f'(x),x属于[a,b]。

原函数的存在定理
(1) f(x)在 [a,b] 上连续，那么是f(x)在 [a,b] 上的一个原函数。x0为 [a,b] 上任意一点。并且f(x)在区间内有第一类间断点或者第二类无穷间断点，则f(x)在该区间上不存在原函数。此外若f(x)在某区间内只有可去间断点，则可把f(x)修改为该区间上的连续函数，从而使得f(x)必存在原函数。非无穷的第二类间断点，需要作具体判断才能确定f(x)是否有原函数。
(2)不定积分与变限积分的关系
c为常数，x0为闭区间上的某定值。
(3)初等函数在其定义域上一定存在原函数。