K倍区间（前缀和+思维）

题目描述

给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。  

你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入

第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)  
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出

输出一个整数，代表K倍区间的数目。

样例输入

5 2
1  
2  
3  
4  
5

样例输出

6

求区间[l,r]的和是k的倍数的个数。

求区间和，我们可以通过前缀和来求出。我们规定sum[i]表示第1个元素到第i个元素的和。那么sum[r] - sum[l-1]就是区间[l,r]的和。区间[l,r]的和是k的倍数即(sum[r] - sum[l-1])%k == 0 即sum[r]%k == sum[l-1]%k
　　那么，我们求出每个前缀和，在求的过程中取模，两个相等的前缀和就能组成一个k倍区间。我们可以在计算完前缀和以后，使用两层for循环来计数k倍区间的个数。但是由于数据量较大，这样是会超时的。那么我们是否能在计算前缀和的过程中来记录k倍区间的个数呢？
我们用一个数组b[i]表示当前位置之前，前缀和取模后等于i的个数。举个例子：
　　数列 1 2 3 4 5   mod = 2
　　对前1个数的和取模， 为1 之前有0个前缀和取模后为1，个数+0
　　对前2个数的和取模， 为1 之前有1个前缀和取模后为1，个数+1
　　对前3个数的和取模， 为0 之前有0个前缀和取模后为0, 个数+0
　　对前4个数的和取模， 为0 之前有1个前缀和取模后为0，个数+1
　　对钱5个数的和取模， 为1 之前有2个前缀和取模后为1，个数+2
　　到目前为止ans = 4。但是ans应该等于6，因为这样计算后，我们漏掉了前i个数的和取模是k的倍数的情况，即[0,i]区间和是k的倍数，因此，我们要在ans = 4 的基础上 加上前缀和取模后为0的个数 即ans+2 = 6;

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
int a[N],b[N];
ll sum[N];
int main(){
	int n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
		ans+=b[sum[i]%k];
		b[sum[i]%k]++;
	}
	ans+=b[0];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}