题目链接 小美的外卖订单编号 题目描述 美团商家的订单编号初始值为 。每当发起一笔新订单时，编号自动加 。为了防止编号无限增大，商家设置了一个编号上限 ：一旦当前订单编号加  后大于 ，下一个订单的编号将重新从  开始。 给定  次询问，第  次询问给出一对整数  和 ，请你计算在编号上限为  的情况下，第  个订单的编号是多少。 解题思路 这是一个基础的周期性问题，可以通过模运算（取余）来解决。   分析编号规律 订单编号从  开始，依次递增至 ，然后回到 ，形成一个周期。序列如下：  这个序列的周期长度为 。   建立数学模型 我们要求的是这个序列中的第  个数。   标准的模运算是基于 ...

题目链接 Poi 的新加法（Easy Version） 题目描述 本题为问题的简单版本。定义一种新的加法运算 ，其运算规则等价于 。给定一个长度为  的序列 （其中 ），求解  的值。 解题思路 首先，我们需要确定  的确切定义。题目描述中虽然给出了  的公式，但这实际上等价于 。通过题目给出的二进制运算表示例可以确认，我们应该使用后者进行计算。 本题是简单版本，查询固定为整个区间 。我们需要计算 res = a[1]; for i=2..n: res = (res & a[i]) << 1。 当  很大时，直接模拟的效率可能不够。我们需要找到一个更快的算法。 关键观察与优...

题目链接 牛妹的位运算 题目描述 给定一个正整数 ，要求在区间  内寻找满足以下所有条件的非负整数对  的数量：     结果需要对  取模。 解题思路 这是一个位运算相关的计数问题。核心在于理解并简化条件 。 条件转换 让我们从二进制表示的角度来分析这个不等式。 设 ，。为了比较  和  的大小，我们通常从它们的最高位开始比较。 设  是  或  中最高有效位（Most Significant Bit, MSB）的位置。也就是说， 是使得  的第  位或  的第  位为 1 的最大下标。对于所有 ， 和  的第  位都为 0。  对于所有 ， 和  的第  位显然也都是 0。 现在考虑第  ...

题目链接 最长异或公共子段 题目描述 给定两个不同的非负整数  和 。定义两条无限序列：     求最长公共子段长度，即最大正整数 ，存在  满足：  解题思路 这是一个关于位运算性质的深刻问题。要找到最长的公共子段，我们需要找到最大的 ，使得存在起始下标  和 ，对于所有 ，都满足 。 这个方程看起来很复杂，因为它混合了加法和异或。解决问题的关键在于找到一个巧妙的构造，简化这个方程。 令 。 我们尝试构造一种特定的对应关系，使得方程在  时成立。一个自然的选择是令 。这样，当  时：  等式成立。 现在，我们需要找到最大的 ，使得对于一个合适的 ，以下等式在  的范围内恒成立：  令 。因为...

题目链接 完美异或 题目描述 给定一个整数 ，需要构造一个长度为  的数组 ，该数组被称为“伟大数组”如果满足以下所有条件：  数组  是单调非降的（）。 所有元素  都是非负整数。 数组的异或和  是  的一个因子（即 ）。  如果存在这样的数组，输出任意一个；如果不存在，则输出 -1。 解题思路 这是一个构造性的问题。我们需要找到一种方法来构建一个满足所有三个条件的数组。 最棘手的条件是异或和  必须是  的因子。为了简化这个问题，我们可以尝试构造一个数组，使其异或和  是一个特定的、容易满足整除条件的值。一个绝佳的选择是 ，因为  是任何正整数  的因子。 这样，问题就转化为：构造一个长...

题目链接 被打乱的异或和 题目描述 有一个长度为  的原始整数数组 。计算出该数组所有元素的按位异或和，记为 。然后将  添加到数组  的末尾，形成一个长度为  的新数组。最后，这个新数组被随机打乱，得到了我们看到的输入数组 。 给定被打乱后的数组 ，我们需要找回原始的异或和 。题目保证至少有一个解，若有多个可能的解，输出任意一个即可。 解题思路 这道题的核心在于巧妙地运用异或运算的性质。 我们来回顾一下异或（XOR, ）的几个关键性质：  交换律和结合律：, 。这意味着一串数字的异或和与它们的顺序无关。 自反性：。任何数与自身异或的结果是 0。 单位元：。任何数与 0 异或的结果是它本身。 ...

题目链接 二进制不同位数 题目描述 给定两个正整数  和 。将它们分别写成二进制串（不含前导 0），从最低位对齐后进行比较。请计算在所有对应位上二进制数字不同的位数，记为 。 更形式化地，设  表示  和  的按位异或（XOR），则  等于  的二进制表示中 1 的个数。 解题思路 这个问题要求我们计算两个整数  和  在二进制表示下有多少位是不同的。这在信息论中被称为“汉明距离”（Hamming distance）。 我们可以利用按位异或（XOR, 在C++/Java/Python中用 ^ 表示）运算的性质来解决这个问题。XOR 运算的规则是：       观察可以发现，只有当两个比较的位不...

题目链接 二进制数1 题目描述 给定一个非负整数 ，计算其二进制表示中数字 1 的数量。 解题思路 计算一个整数二进制表示中 1 的个数（也称为“汉明权重”或“population count”）是一个经典的位运算问题。这里介绍两种主要的方法。 方法一：Brian Kernighan 算法 这是一个非常巧妙和高效的算法。其核心思想是利用一个特定的位运算技巧：n & (n - 1)。 这个操作的效果是：将整数 n 的二进制表示中最低位的 1 变为 0。 例如，如果 n = 6，其二进制是 110。n-1 = 5，其二进制是 101。n & (n - 1) 的结果是 100（即4）...

题目链接 游游的排列构造 题目描述 给定整数  和 ，需要构造一个长度为  的排列（包含  到  每个整数恰好一次），使得该排列中恰好有  个“好元素”，并且任意两个好元素都不相邻。 一个元素被称为“好元素”，如果它是其所在前缀的最大值。 解题思路 这是一个构造题，我们需要找到一种系统性的方法来构建满足条件的排列。 首先，我们来分析“好元素”的性质：  排列的第一个元素  永远是一个好元素。 如果  是一个好元素，那么它必须大于所有在它之前的元素（ for ）。 因此，排列中的所有好元素构成一个严格递增的子序列。  接下来，分析“不相邻”的约束：  如果  是一个好元素，那么  不能是好元素。...

题目链接 小红的排列构造② 题目描述 小红定义一个仅由 '0' 和 '1' 两个字符构成的字符串  与一个长度为  的数组  为匹配，当且仅当满足下列两点：  若 ，则数组  的前  项（即 ）恰好构成一个  到  的排列。 若 ，则数组  的前  项（即 ）无法构成一个  到  的排列。  现在小红给出了一个长度为  的字符串 ，请你构造一个长度为  的排列  使得  与  匹配；如果不存在这样的排列，请输出 -1。 解题思路 这是一个构造性问题。我们需要根据字符串  的要求，一步步构建出排列 。 首先，我们分析题目给出的两个核心条件：  s[i] = '1'：这意味着集合  必须等于集合 ...

题目链接 构造数列 题目描述 给定一个偶数 ，需要构造一个长度为  的、由互不相同的正整数组成的数组。该数组需要满足以下条件：  前  个数是偶数。 后  个数是奇数。 前  个数的和等于后  个数的和。  如果存在这样的数组，输出 YES 并给出任意一个解；否则输出 NO。 解题思路 设数组的长度为 ，则偶数和奇数各有  个。   个偶数之和永远是偶数。  个奇数之和的奇偶性与  相同。 要使两边的和相等，它们的奇偶性必须相同。因此，奇数部分的和必须是偶数，这意味着  必须是偶数。  所以，只有当  是偶数时，即  是  的倍数时，问题才可能有解。当  是奇数时，问题无解。 对于  是  的...

题目链接 小红的排列构造① 题目描述 小红希望你构造一个长度为  的排列 ，使得对所有 ，都有  不是质数。 长度为  的排列是由  这  个正整数按任意顺序组成的数组，其中每个整数恰好出现一次。 解题思路 这是一个构造性问题。我们需要找到一个排列 ，使得所有的  都是合数。 一个关键的突破口是考虑  的奇偶性。如果一个数是大于  的偶数，那么它一定是合数。  两个奇数之和是偶数。 两个偶数之和是偶数。  这启发我们可以将排列中的数和它们的下标按照奇偶性进行配对。也就是说：  如果下标  是奇数，我们就让  也为奇数。 如果下标  是偶数，我们就让  也为偶数。  这样一来， 的结果就总是偶数...

题目链接 构造三角形 题目描述 给定四个正整数 ，满足 。需要构造三个整数 ，使得：      可以构成一个非退化三角形。  题目保证至少存在一组解，输出任意一组即可。 解题思路 要使三条边  构成三角形，它们必须满足三角形不等式：      我们来分析这三个条件。根据题目给定的取值范围：, , 。   对于条件 ： 我们知道  的最小值为 ， 的最小值为 ， 的最大值为 。 因此，。 因为  是正整数（），所以 。 结合起来有 。 所以  这个条件总是成立的。   对于条件 ： 类似地， 的最小值为 ， 的最小值为 ， 的最大值为 。 因此，。 因为  是正整数（），所以 。 结合起来有 。...

题目链接 茉茉的密码 题目描述 给定  个仅由小写字母组成的字符串，要求找出这  个字符串的一个公共子串。 解题思路 感谢您的指正，注意到本题的数据范围较大（字符串总长度  可达 ），之前的暴力枚举解法在这种情况下会超时。我们需要一个更高效的算法。 题目的关键在于只需要找到任意一个公共子串。这给了我们一个重要的提示：我们可以从最简单的情况入手。 一个公共子串可以很长，也可以很短。最短的子串是长度为 1 的子串，即单个字符。 我们可以思考这样一个问题：如果存在一个长度大于 1 的公共子串，例如 "aba"，那么构成这个子串的字符（'a' 和 'b'）是否也一定存在于所有字符串...