题目链接 循环求和 题目描述 牛牛定义了一个新的自然数序列：。 即，对于一个自然数 ，如果它是奇数，其值为 ；如果它是偶数，其值为 。 现在需要计算这个序列第  项到第  项之间的和。 解题思路 这是一个求解特殊序列区间和的问题。由于区间的左右端点  和  的值可能非常大（可达 ），直接循环累加会导致超时。因此，我们需要寻找一种更高效的数学方法，通常是利用前缀和的思想。 1. 前缀和 区间  的和可以表示为 (从第 1 项到第 R 项的和) - (从第 1 项到第 L-1 项的和)。 如果我们能用一个公式  快速计算出序列前  项的和，那么问题就迎刃而解了。答案就是 。 2. 推导前缀和公式 ...

题目链接 小红的夹吃棋 题目描述 在一个 3*3 的棋盘上，小红（黑棋 '*'）和小紫（白棋 'o'）玩“夹吃棋”。 规则如下：  如果一个白子 ('o') 的两侧（横向或纵向）相邻都是黑子 ('*')，则这个白子被“夹吃”。 如果一个黑子 ('*') 的两侧（横向或纵向）相邻都是白子 ('o')，则这个黑子被“夹吃”。  胜负判断：  小红获胜 (kou)：只有白棋被夹吃。 小紫获胜 (yukari)：只有黑棋被夹吃。 平局 (draw)：双方都被夹吃，或者双方都没有被夹吃。  给定一个局面，判断棋局结果。 解题思路 这是一个基于固定规则的棋盘状态判断问题。由于棋盘大小仅为 3*3，我们可以...

题目链接 小红的回文子串 题目描述 给定一个长度为  的字符串，我们想知道，该字符串有多少个长度为  的连续子串是回文串？ 解题思路 这个问题要求我们统计固定长度的回文子串数量。一个直接的方法是暴力枚举，但效率较低。更高效的解决方案是使用字符串哈希。 1. 暴力解法 (时间复杂度 ) 我们可以遍历所有  个长度为  的子串。对于每个子串，我们花费  的时间来检查它是否是回文。总时间复杂度为 ，当  和  很大时，该方法会超时。 2. 字符串哈希 (时间复杂度 ) 核心思想是：一个字符串是回文串，当且仅当它的哈希值与其反转串的哈希值相等。这使我们能将比较字符串的  操作优化为比较哈希值的  操作...

题目描述 给出两个整数 ，你可以任意顺序多次执行以下两个操作。求出使得  时所需的最少操作次数。如果无法实现，则输出 。  操作一： 操作二：  解题思路 这是一个求解最少操作次数的问题，其状态由数对  定义。由于输入的初始值范围  很小，这暗示我们可以通过图的搜索算法来解决。这是一个典型的广度优先搜索 (BFS) 应用场景。 1. 问题建模  状态（节点）: 每一个可能的数对  都是图中的一个节点。 操作（边）: 从一个状态  到另一个状态的两种变换（交换或线性变换）就是图中的有向边。 目标: 找到从初始状态  到任意目标状态  的最短路径。由于每次操作计为一步，所有边的权重都是 1。  2...

题目链接 小红吃药 题目描述 小红有  种可能的症状。她的初始症状由一个长度为  的 01 串表示。现有  种药，每种药有两个属性：  治疗范围：一个长度为  的 01 串，'1' 表示该药可以治疗对应症状。 副作用：一个长度为  的 01 串，'1' 表示服用该药会产生对应症状。  题目保证一种药的治疗症状和副作用症状不会重叠。 小红会按顺序服用  副药。你需要计算并输出她在每次服药后，还剩下多少种症状。 解题思路 这是一个状态更新的模拟问题。由于症状的状态只有“有”和“没有”两种，非常适合使用位掩码 (Bitmask) 来表示和处理。 1. 使用位掩码表示状态  症状状态：我们可以用一个整...

题目链接 小红的矩阵 题目描述 给定一个  大小的矩阵，矩阵第  行第  列的元素为 （ 从 1 开始）。小红想知道矩阵中第  小的元素是多少。 解题思路 这是一个在隐式、有序的矩阵中寻找第  小元素（k-th order statistic）的经典问题。由于  和  的范围很大，我们无法实际构建出整个矩阵。这个问题的关键在于矩阵的单调性，这使得我们可以对答案进行二分查找。 1. 二分查找答案 我们可以二分查找最终的答案，设答案为 ans。答案的取值范围显然在  之间。 对于二分查找中的每一个猜测值 x，我们需要能够高效地回答一个问题：“矩阵中有多少个元素小于或等于 x？”。我们把这个计数函数...

题目链接 平均值 题目描述 给出两个正整数  和 。每次操作可以选择其中一个数字，然后将其替换为  的几何平均数或平方平均数。问最少经过几次替换，可以使得这两个数相等。  几何平均数:  (上取整) 平方平均数:  (下取整)  解题思路 这是一个典型的最短路径问题，可以用广度优先搜索 (BFS) 来解决。 1. 问题建模  状态（节点）: 每一个可能的数对  都是图中的一个节点。 操作（边）: 从一个状态  到另一个状态的四种变换（对  或  应用两种平均数之一）就是图中的有向边。 目标: 找到从初始状态  到任意目标状态  的最短路径。由于每次操作计为一步，所有边的权重都是 1。  2. ...

题目链接 小红的矩阵 题目描述 给定一个  的矩阵，请你统计其中有多少个元素的个位数字是 9。 解题思路 本题是一个基础的矩阵遍历和计数问题。解决这个问题的核心在于两个步骤：一是如何遍历矩阵中的所有元素，二是如何判断一个整数的个位数是否为 9。 1. 遍历矩阵 我们可以使用两层嵌套的循环来访问矩阵中的每一个元素。外层循环负责遍历行（从第 1 行到第  行），内层循环负责遍历列（从第 1 列到第  列）。 2. 判断个位数 对于任意一个正整数 num，我们可以通过取模运算 num % 10 来得到它的个位数字。例如，39 % 10 的结果是 9，10 % 10 的结果是 0。 因此，判断一个数 ...

题目链接 小红的皇后 题目描述 在一个  的棋盘上，小红的皇后从左上角 (0,0) 出发，要到达右下角 (n-1, m-1)。有些格子是障碍物。 皇后每次可以向右、下或右下移动任意多个格子，但移动的路径上不能有障碍物。求从起点到终点的最少移动次数。如果无法到达，输出 -1。 解题思路 这是一个在网格上的最短路径问题。由于每次移动的成本都是 1，且移动距离不固定，使用传统的广度优先搜索（BFS）效率不高。这个问题更适合采用动态规划 (DP) 并进行优化。 1. DP 状态定义 我们定义 dp[i][j] 为皇后到达格子 (i, j) 所需的最少移动次数。我们的最终目标是 dp[n-1][m-1]...

题目链接 小红修道路 题目描述 给定一个  个点  条边的带权无向图。现在计划修建  条新的双向道路，所有新路都以 1 号点为起点。 假设修建了所有  条新路后，从 1 号点到各点的最短距离为 。问题是，可以不修建这  条路中的多少条，仍能使得从 1 号点到各点的最短距离保持为 ？ 解题思路 这是一个基于单源最短路径的图论问题。核心思想是先确定最终的最短路径状态，然后判断每条计划修建的道路对于维持这个状态是否是“必要”的。 1. 确定最终最短路径 首先，我们需要知道如果所有  条路都修建了，从 1 号点出发的全局最短路径是怎样的。  构建一个“完整图”，该图包含原始的  条边和所有计划的  条...

题目链接 小红的整数配对 题目描述 小红有一个长度为  的数组 。她可以多次执行如下操作：  选择数组中两个之前未被选择过的整数  和 ，需满足 。 获得  的分数。  问小红最多能获得多少分数？ 解题思路 这是一个可以通过动态规划解决的最优配对问题。 1. 预处理 为了最大化乘积之和，我们应该优先考虑将数值相近且较大的数配对。这启发我们首先对数组进行排序。将数组  从小到大排序后，配对条件  (假设 ) 就简化为 。 2. 动态规划 排序后，问题具有了最优子结构，适合使用动态规划求解。   状态定义： 我们定义  为：考虑排序后数组的前  个元素（即 ）所能获得的最大分数。   状态转移方程...

题目链接 小红浏览论坛 题目描述 小红在浏览一个有  个帖子的论坛。每个帖子都有一个点赞数  和一个反对数 。给定一个整数阈值 ，小红只喜欢阅读那些点赞数与反对数之差的绝对值大于等于  的帖子（即 ）。请问在这  个帖子中，有多少个是小红喜欢阅读的？ 解题思路 本题的解法非常直接，属于基础的计数问题。我们只需要根据题目给定的条件，逐一检查每个帖子，并统计满足条件的帖子数量即可。 算法步骤如下：  初始化：创建一个计数器变量，例如 count，并将其初始值设为 0。 读取输入：读取帖子的总数  和阈值 。 遍历与判断：循环  次，每次循环处理一个帖子。  在循环内部，读取当前帖子的点赞数  和反...

题目链接 小红的地砖 题目描述 小红需要从第 1 块地砖走到第  块地砖。走到第  块地砖需要消耗  的体力值。小红每次可以选择向前走一步或者向前走两步。求小红走到第  块地砖时，消耗的最小总体力值。 解题思路 这是一个经典的动态规划问题，与“爬楼梯”问题模型类似，但目标是最小化路径成本。 1. 动态规划状态定义 我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示到达第 i 块地砖（1-based 索引）时所消耗的最小体力值总和。我们的目标是求出 dp[n]。 2. 状态转移方程 要想到达第 i 块地砖，只可能从以下两个位置过来：  从第 i-1 块地砖走一步：此时的总消耗为 dp[i-1] + ...

题目链接 小红的数组操作 题目描述 给定一个数组，有两种操作：  删除数组的第一个元素，花费为 。 使数组中任意一个元素加 1 或减 1，花费为 。  目标是使用尽可能少的花费使得数组中所有剩余元素都相等。求最小总花费。 解题思路 这是一个需要结合枚举和数据结构优化的题目。总花费由“删除花费”和“修改花费”两部分构成。 1. 问题转化 我们可以枚举删除数组头部的元素个数。假设我们删除了前  个元素（），那么：  删除花费为 。 剩下的任务是，用最小的修改花费使后缀数组  中的所有元素都相等。  2. 中位数性质 对于一个给定的数组，要将其所有元素修改为同一个目标值 ，使得总修改量（即 ）最小，...