题目链接 二进制数1 题目描述 给定一个非负整数 ，计算其二进制表示中数字 1 的数量。 解题思路 计算一个整数二进制表示中 1 的个数（也称为“汉明权重”或“population count”）是一个经典的位运算问题。这里介绍两种主要的方法。 方法一：Brian Kernighan 算法 这是一个非常巧妙和高效的算法。其核心思想是利用一个特定的位运算技巧：n & (n - 1)。 这个操作的效果是：将整数 n 的二进制表示中最低位的 1 变为 0。 例如，如果 n = 6，其二进制是 110。n-1 = 5，其二进制是 101。n & (n - 1) 的结果是 100（即4）...

题目链接 游游的排列构造 题目描述 给定整数  和 ，需要构造一个长度为  的排列（包含  到  每个整数恰好一次），使得该排列中恰好有  个“好元素”，并且任意两个好元素都不相邻。 一个元素被称为“好元素”，如果它是其所在前缀的最大值。 解题思路 这是一个构造题，我们需要找到一种系统性的方法来构建满足条件的排列。 首先，我们来分析“好元素”的性质：  排列的第一个元素  永远是一个好元素。 如果  是一个好元素，那么它必须大于所有在它之前的元素（ for ）。 因此，排列中的所有好元素构成一个严格递增的子序列。  接下来，分析“不相邻”的约束：  如果  是一个好元素，那么  不能是好元素。...

题目链接 小红的排列构造② 题目描述 小红定义一个仅由 '0' 和 '1' 两个字符构成的字符串  与一个长度为  的数组  为匹配，当且仅当满足下列两点：  若 ，则数组  的前  项（即 ）恰好构成一个  到  的排列。 若 ，则数组  的前  项（即 ）无法构成一个  到  的排列。  现在小红给出了一个长度为  的字符串 ，请你构造一个长度为  的排列  使得  与  匹配；如果不存在这样的排列，请输出 -1。 解题思路 这是一个构造性问题。我们需要根据字符串  的要求，一步步构建出排列 。 首先，我们分析题目给出的两个核心条件：  s[i] = '1'：这意味着集合  必须等于集合 ...

题目链接 构造数列 题目描述 给定一个偶数 ，需要构造一个长度为  的、由互不相同的正整数组成的数组。该数组需要满足以下条件：  前  个数是偶数。 后  个数是奇数。 前  个数的和等于后  个数的和。  如果存在这样的数组，输出 YES 并给出任意一个解；否则输出 NO。 解题思路 设数组的长度为 ，则偶数和奇数各有  个。   个偶数之和永远是偶数。  个奇数之和的奇偶性与  相同。 要使两边的和相等，它们的奇偶性必须相同。因此，奇数部分的和必须是偶数，这意味着  必须是偶数。  所以，只有当  是偶数时，即  是  的倍数时，问题才可能有解。当  是奇数时，问题无解。 对于  是  的...

题目链接 小红的排列构造① 题目描述 小红希望你构造一个长度为  的排列 ，使得对所有 ，都有  不是质数。 长度为  的排列是由  这  个正整数按任意顺序组成的数组，其中每个整数恰好出现一次。 解题思路 这是一个构造性问题。我们需要找到一个排列 ，使得所有的  都是合数。 一个关键的突破口是考虑  的奇偶性。如果一个数是大于  的偶数，那么它一定是合数。  两个奇数之和是偶数。 两个偶数之和是偶数。  这启发我们可以将排列中的数和它们的下标按照奇偶性进行配对。也就是说：  如果下标  是奇数，我们就让  也为奇数。 如果下标  是偶数，我们就让  也为偶数。  这样一来， 的结果就总是偶数...

题目链接 构造三角形 题目描述 给定四个正整数 ，满足 。需要构造三个整数 ，使得：      可以构成一个非退化三角形。  题目保证至少存在一组解，输出任意一组即可。 解题思路 要使三条边  构成三角形，它们必须满足三角形不等式：      我们来分析这三个条件。根据题目给定的取值范围：, , 。   对于条件 ： 我们知道  的最小值为 ， 的最小值为 ， 的最大值为 。 因此，。 因为  是正整数（），所以 。 结合起来有 。 所以  这个条件总是成立的。   对于条件 ： 类似地， 的最小值为 ， 的最小值为 ， 的最大值为 。 因此，。 因为  是正整数（），所以 。 结合起来有 。...

题目链接 茉茉的密码 题目描述 给定  个仅由小写字母组成的字符串，要求找出这  个字符串的一个公共子串。 解题思路 感谢您的指正，注意到本题的数据范围较大（字符串总长度  可达 ），之前的暴力枚举解法在这种情况下会超时。我们需要一个更高效的算法。 题目的关键在于只需要找到任意一个公共子串。这给了我们一个重要的提示：我们可以从最简单的情况入手。 一个公共子串可以很长，也可以很短。最短的子串是长度为 1 的子串，即单个字符。 我们可以思考这样一个问题：如果存在一个长度大于 1 的公共子串，例如 "aba"，那么构成这个子串的字符（'a' 和 'b'）是否也一定存在于所有字符串...

题目链接 构造数独 题目描述 需要构造一个  的非负整数矩阵，使得该矩阵的每一行之和与每一列之和都等于一个给定的整数 。如果不存在这样的矩阵，则输出 -1。 解题思路 这是一个构造性问题。虽然题目提到了可能无解（输出-1），但从数学上讲，只要行和的总和（）等于列和的总和（），就总能构造出这样一个非负整数矩阵。因此，对于所有正整数 ，本题总是有解的。 一个通用且能让矩阵内元素分布相对均匀的构造方法如下：  基础值分配：首先，我们将  平均分配给  个元素。每个元素可以先获得一个基础值，即  整除  的商 。 余数分配：经过基础值分配后，每行/每列的和为 。我们还需要将总和的余数  分配下去，使得...

题目链接 构造数对 题目描述 给定一个正整数 ，请你构造一个由两个正整数  组成的数对，使其同时满足下列全部条件：    整除 （）    若存在多个满足要求的数对，你可以输出其中任意一个；若不存在，则输出 -1。 解题思路 这是一个构造性问题，我们可以尝试寻找一个最简单的构造方案。 题目要求  和  都是不超过  的正整数，一个自然的想法是令  和  都取最大值，即 。我们来验证这个构造是否满足所有条件。  ：当  时，此条件为 。因为题目保证  是正整数，所以 ，该条件恒成立。 ：当  时，此条件为 ，即  能被  整除。对于任意正整数 ，该条件恒成立。 ：当  时，此条件为 ，即 。这个...

题目链接 构造C的歪 题目描述 给定两个整数  和 ，需要找到第三个整数 ，使得这三个数排序后能构成一个等差数列。输出任意一个满足条件的  即可。 解题思路 等差数列的核心性质是中间项是首末两项的平均值。换句话说，如果排序后的三个数为 ，那么必须满足 ，即 。 我们设给定的两个数为  和 ，要找的数为 。不失一般性，我们先对  和  进行排序，得到  和 。现在我们有两个数  和 ，需要找到第三个数  使得它们能构成等差数列。有以下三种可能的情况：   是中间项：数列为 。 此时公差为 ，那么第三个数 。  是中间项：数列为 。 此时公差为 ，那么第一个数 。  是中间项：数列为 。 此时 。...

题目链接 【模板】01背包 题目描述 你有一个最大容量为  的背包和  件物品。第  件物品的体积为 ，价值为 。每件物品只有一件，可以选择放或不放。 题目要求计算两种方案下的最大总价值：  方案A：不要求装满背包。 方案B：要求最终恰好装满背包。如果无法恰好装满，则答案记为 。  解题思路 这是经典的 01背包 问题，可以使用动态规划来解决。由于空间复杂度有要求，我们需要使用一维数组（滚动数组）进行优化。 我们定义  为在背包容量为  的限制下，所能获得的最大价值。我们的目标是求解两种不同要求下的 。 核心状态转移方程： 对于第  件物品（体积 ，价值 ），要更新容量为  的状态 ，我们有两...

题目链接 最大子段和 题目描述 给定一个长度为  的整数数组 。请你从中选取一个非空子数组（连续的一段），使得其元素之和最大。求出该最大和。 解题思路 本题是经典的动态规划问题，通常使用“Kadane算法”来高效解决。 我们定义  为以数组中第  个元素  结尾的连续子数组的最大和。我们的目标是求出所有  中的最大值。 对于第  个元素，以它结尾的最大和子数组有两种可能：  子数组只包含  这一个元素。 子数组是在以  结尾的最大和子数组后面，再接上  形成的。  因此，我们可以得到状态转移方程：  这个方程的含义是：以  结尾的最大子数组和，要么是  本身（这意味着开启一个新的子数组），要么...

题目链接 撞车 题目描述 一条单向单车道的道路上有  辆车，第  辆车位于 ，速度大小为 。为了避免碰撞，可以移除一些车辆。请求出至少需要移除几辆车，才能让剩下的车不发生碰撞。 解题思路 两辆车会发生碰撞的充要条件是：位于后方的车辆速度快于前方的车辆。换言之，要使任意两辆车  和  不发生碰撞，如果车  在车  的后方（即 ），那么必须满足车  的速度不大于车  的速度（即 ）。 这个要求启发我们将问题进行转化：  首先，我们将所有的车辆按照其初始位置  从小到大进行排序。 排序后，我们就得到了一个按位置排列的车辆序列，以及它们对应的速度序列。 要使这些车辆不发生碰撞，保留下来的车辆（保持它们...

题目链接 最长不下降子序列 题目描述 给定一个由  个正整数组成的数组 。请你计算该数组的最长不下降子序列（Longest Non-decreasing Subsequence，简称 LNDS）的长度。 对于一条子序列，要求保留原数组中的相对顺序，并满足子序列中的元素依次不小于前一个元素。 解题思路 本题要求解最长不下降子序列（LNDS）的长度。这是一个经典的动态规划问题，可以使用贪心算法结合二分查找进行优化，将时间复杂度降至 。 我们维护一个数组 ，其中  表示长度为  的所有不下降子序列中，结尾元素的最小值。显然，数组  是单调不降的。 我们遍历输入的数组  中的每一个元素 ：  如果  ...