题目链接 小红走网格 题目描述 小红从原点  出发，可以进行四种移动：  向上移动  步 向下移动  步 向左移动  步 向右移动  步 问她是否能通过若干次移动到达目标点 。  解题思路 这个问题可以分解为两个独立的一维问题：一个是在  轴上的移动，另一个是在  轴上的移动。 1. Y 轴方向的移动 在  轴上，小红可以向上移动  或向下移动 。假设她向上移动了  次，向下移动了  次，那么她最终的  坐标就是 。 这是一个线性丢番图方程。根据裴蜀定理（Bézout's identity），对于方程 ，它有整数解  的充要条件是  是  的倍数。 应用到本题中， 坐标能达到的所有位置集合就是...

题目链接 矩形游戏 题目描述 从  颗石子开始，每次操作可以选择将当前的  颗石子摆成  的矩形（其中 ），然后保留其中一行的  颗石子，其余丢弃。游戏在剩下 1 颗石子时结束。游戏得分是每轮操作前所拥有的石子数之和。求最优策略下的最大得分。 解题思路 本题要求一个最大得分，这是一个典型的最优化问题，我们可以尝试用动态规划的思路来分析。 设  表示从  颗石子开始游戏能获得的最大得分。 根据题意，游戏在剩下 1 颗石子时结束，所以 。 对于  的情况，一次操作将石子数从  变为 ，其中  是  的一个真因子（）。得分会增加 ，之后的游戏得分则取决于从  开始能获得的最大分数 。 为了使总分最大...

题目链接 小红和小紫的取素因子游戏 题目描述 小红和小紫有一个正整数 ，她们轮流进行操作。每位玩家可以选择  的一个素因子 ，然后将  替换为 。小红先手。当轮到某位玩家时，如果当前的数 ，则她无法操作，判为失败。假设两人都采取最优策略，请判断谁会获胜。 解题思路 这是一个公平组合游戏（Impartial Game），因为对于任何一个游戏状态（当前的数字 ），可行的操作集合只取决于状态本身，而与轮到哪位玩家无关。 游戏的核心操作是将  替换为 。如果我们考虑  的质因数分解形式 ，那么每次操作实际上就是将某个质因子  的指数  减一。 游戏结束的条件是 ，此时所有的质因子的指数都变为了 0。这...

题目链接 复杂的最大公约数 题目描述 给定两个正整数  和 ，求区间  中所有整数的最大公约数。即求 。输入中的  和  可能会非常大，超出 64 位整数的范围。 解题思路 本题要求一个连续整数区间的最大公约数。我们可以通过分析最大公约数的性质来简化问题。 设 。根据最大公约数的定义， 必须能够整除区间内的每一个数。 我们分两种情况讨论：   当  时： 区间内只有一个整数 。根据定义，一个数的最大公约数就是它本身。所以，当  时，答案就是 。   当  时： 此时，区间  至少包含两个连续的整数： 和 。 因为  是整个区间的最大公约数，所以  必须能同时整除  和 。 根据最大公约数的一条...

题目链接 1=N 题目描述 给定一个正整数 。你可以对一个整数执行以下操作（不限次数）：选择一个大于等于 2 的整数 ，支付  的成本，然后将当前的数变为原来的 。请问，将  变为 1 所需的最小总成本是多少？ 解题思路 本题要求将数字  通过一系列除法操作变为 1，并最小化操作成本之和。每次操作选择一个除数 ，成本就是 。 假设我们选择了一系列的除数 ，使得  最终变为 1。这意味着 。我们的目标是最小化总成本 。 问题就转化为了：将  分解为若干个大于等于 2 的整数的乘积，如何使得这些整数的和最小？ 我们可以得出一个重要的结论：要使和最小，分解出来的所有因子都必须是质数。 我们可以用反证...

题目链接 几乎是质数 题目描述 如果一个正整数恰好拥有两个不同的质因子，则称该数为“几乎是质数”。给定一个正整数 ，请计算区间  内“几乎是质数”的数量。 解题思路 本题要求我们统计一个区间内满足特定条件的数的个数。这个条件是“恰好拥有两个不同的质因子”。 一个直接的想法是遍历从 1 到  的每个数，对每个数进行质因数分解，然后统计其不同质因子的数量。如果数量恰好为 2，则计数器加一。但这种方法的时间复杂度大约是 ，对于常见的  的范围（如 ）来说，可能会超时。 更高效的方法是使用筛法。我们可以预处理出从 1 到  每个数包含多少个不同的质因子。具体步骤如下：  创建一个数组 count，大小...

题目链接 最大公因数与最小公倍数 题目描述 给定两个正整数  与 ，请你计算它们的最大公因数（GCD）与最小公倍数（LCM）。 解题思路 本题的核心是求解两个数的最大公因数和最小公倍数。   最大公因数 (GCD) 我们可以使用辗转相除法（欧几里得算法）来高效地计算两个正整数的最大公因数。该算法的原理是：两个整数的最大公因数等于其中较小的数和两数相除余数的最大公因数。 用公式表示为：。 当  时，。我们可以通过递归或循环实现。   最小公倍数 (LCM) 最小公倍数可以通过最大公因数计算得出。它们之间存在一个重要的关系：  因此，我们可以推导出计算最小公倍数的公式：  为了防止在计算  时发生...

题目链接 分解质因数 题目描述 给定一个正整数 ，请将  按从小到大的顺序分解为若干个质因数并输出。 解题思路 本题要求对一个正整数  进行质因数分解，我们可以使用试除法来解决。 具体步骤如下：  从最小的质数  开始，尝试看  能否被  整除。 如果  能被  整除，说明  是  的一个质因数。我们就输出 ，然后用  除以  来更新  的值。我们重复这个过程，直到  不能再被  整除为止，这样可以处理掉所有等于  的质因数。 让  增加 1，继续对新的  进行上述操作。 我们可以发现，当  循环到  之后，如果  仍然大于 1，那么剩下的  一定是一个质数。这是因为如果剩下的  是一个合数，...

题目链接 判断质数 题目描述 给定一个正整数 ，请判断  是否为质数。 质数的定义是：在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数。 解题思路 判断一个数  是否为质数，最直观的方法是尝试用从  到  的所有整数去除 ，如果都不能整除，那么  就是质数。但是这种方法效率较低。我们可以对其进行优化。 核心思想：试除法优化 一个重要的数学性质是：如果一个数  有一个因数 ，那么它必然有另一个因数 。这两个因数中，必然有一个不大于 ，另一个不小于 。  例如，对于 ，。  因数  对应因数 ，其中 。 因数  对应因数 ，其中 。 因数  对应因数 ，其中 。 因数  对应因...

题目链接 小红闯关 题目描述 小红需要按顺序通过  个关卡。通过第  个关卡需要花费  的时间。 每当小红通过了  个关卡（无论是花费时间还是使用道具），她都会获得一个“跳关道具”。 跳关道具可以用于任何一个关卡，使用后能以 0 时间通过该关卡。 请计算通过所有  个关卡所需的最少总时间。 解题思路 这是一个经典的优化问题，但其决策具有时间上的依赖性，直接从前往后贪心容易出错。一个非常巧妙的解法是从后往前进行动态规划和贪心选择。 核心思想：从后往前遍历，利用对“未来”的认知 当我们从后往前（i 从 n-1 到 0）遍历关卡时，在任意一个位置 i，我们都已经知道了它之后所有关卡（i+1 到 n-...

题目链接 小红的整数配对 题目描述 小红有一个包含  个整数的数组 。她可以进行多次配对操作来获得分数。 操作规则如下：  选择两个尚未被选过的数  和 。 如果它们的绝对值之差不大于 ，即 ，则配对成功。 配对成功后，获得  的分数，并且这两个数被移除，不能再次使用。 目标是最大化总得分。  解题思路 这是一个组合优化问题。为了最大化总得分（乘积之和），我们应该优先让数值大的数互相配对，因为这比让大数和小数配对的得分贡献要大得多。这引导我们采用贪心策略。 核心贪心策略：大数优先配对   排序：首先，我们将整个数组 a 从大到小进行排序。这使得我们总能优先处理当前最大的可用数字。   配对：我...

题目链接 小红的魔法药剂 题目描述 小红需要集齐  种魔法药剂（编号1到）。对于每种药剂，她只需要拥有红色或蓝色版本中的任意一种即可。 获取药剂的方式有两种：  直接购买：花费  金币购买第  种药剂的红色版本。 调配合成：如果已经拥有第  种和第  种药剂的红色版本，就可以免费调配出第  种药剂的蓝色版本。  给定每种红色药剂的价格以及每种蓝色药剂的合成配方，请计算集齐所有  种药剂的最小总金币数。 解题思路 这是一个典型的决策优化问题。我们需要为每一种药剂（从1到）决定如何获取它，以使得总花费最小。 核心思想：独立决策 关键的洞察在于，获取第  种药剂的决策，与其他药剂（如第  种）的最终...

题目链接 小红的矩阵染色 题目描述 小红有一个  的矩阵，其中一些格子是黑色的 ('*')，另一些是白色的 ('o')。她最多可以把  个白色格子染成红色。 计分规则是：如果一个红色格子下方相邻的格子也是红色，那么这个红色的格子可以获得1分。请问小红最多可以得到多少分？ 解题思路 这是一个典型的资源分配优化问题，可以用贪心策略解决。我们的目标是用有限的资源（最多染  个格子）来获得最大的分数。 1. 分析得分方式  分数是由垂直相邻的一对红色格子产生的。具体来说，一对上下的红色格子可以为上面的那个格子贡献1分。 在一个长度为  的垂直连续白色块中，如果我们染了其中的  个格子（），我们最多能得...

题目链接 排座椅 题目描述 在一个  的教室里，有  对相邻的同学会交头接耳。班主任计划设置  条横向通道和  条纵向通道，来隔开这些同学。  横向通道设置在相邻两行之间。 纵向通道设置在相邻两列之间。  目标是找到一个最优的通道设置方案，使得被通道隔开的“交头接耳”对数量最多。题目保证最优方案唯一。请输出这个方案。 解题思路 这是一个典型的贪心问题。关键的洞察在于，横向通道的放置决策与纵向通道的放置决策是相互独立的。  一条横向通道只能隔开上下相邻的同学。 一条纵向通道只能隔开左右相邻的同学。  因此，我们可以将原问题分解为两个独立的子问题：  找到最优的  个位置来放置横向通道。 找到最优...