题解 | #牛客小白月赛45#

A题 悬崖 （脑筋急转弯）

脑筋急转弯题，就不翻译题目了，没必要。

当 $n\le xn\backslash leq\; x$ 时，可以一直跳到两个墙合并，答案为 $nxnx$。

当 $n>xn>x$ 时，至多跳一次就掉下去，但是还是有跳跃距离的，答案为 $xx$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    long long x, n, ans;
    cin >> x >> n;
    ans = n > x ? x : n * x;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

B题 数数 （签到）

给定一个函数：

void dfs(int cnt) { //cnt从1开始 如同dfs(1)
 for(int i = 1;i <= cnt;i++) ans++;
 dfs(cnt + 2);
}

问函数递归到第 $nn$ 层时，$ansans$ 的值为多少？（从 $dfs(1)dfs(1)$ 开始，$ansans$ 是全局变量，初始值为 0）

样例：$n=2n=2$ 时，$ans=4ans=4$

$0\le n\le 10^{9}0\backslash leq\; n\backslash leq\; 10^9$

不难发现，第 $ii$ 层会让答案增加 $2i-12i-1$，所以 $ans={\sum }_{i=1}^{n}2i-1=n^{2}ans=\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n2i-1=n^2$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    long long n;
    cin >> n;
    cout << n * n;
    return 0;
}

C题 山楂 （数学，贪心）

已知现在有不少等级不同的糖果，我们可以每次选择将 3 或 4 个 $ii$ 级的糖果合成为一个 $i+1i+1$ 级的糖果，并获得 $xixi$ 点积分。当若干个 8 级糖果被合成为一个 9 级糖果后，这个糖果会消失，不再能够被继续合成。

现在给定前八级糖果的数量 $a_1,a_2,\cdots ,a_{8}a\_1,a\_2,\backslash cdots,a\_8$，问我们能够合成的最高积分是多少？

$0\le a_i\le 10^{9}0\backslash leq\; a\_i\backslash leq\; 10^9$

糖果只能从低级向高级合成，所以我们贪心的考虑，先低级后高级。

我们假设 $kk$ 级糖果的数量为 $nn$，那么 时无法合成，$n=3n=3$ 时可以将三个糖果合并，$n=4,5n=4,5$ 时则将四个全部合并。

$n\ge 6n\backslash geq\; 6$ 时候，有一个不是很显然的性质：$nn$ 一定能够被表示为 $3x+4y(x,y\ge 0)3x+4y(x,y\backslash geq\; 0)$ 的形式（可以同余证明，或者去参考 小凯的疑惑），这意味着这一级的糖果必然能被全部合成，即给积分贡献 $nknk$。那么，我们必然要最大化合成的 $k+1k+1$ 级糖果数量，显然数量为 $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor \backslash lfloor\backslash frac\{n\}\{3\}\backslash rfloor$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
LL a[10];
const LL v[6] = {0, 0, 0, 3, 4, 4};
int main()
{
    for (int i = 1; i <= 8; ++i)
        cin >> a[i];
    LL ans = 0;
    for (int k = 1; k <= 8; ++k) {
        LL n = a[k];
        ans += k * (n > 5 ? n : v[n]);
        a[k + 1] += n / 3;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

D题 切糕 （思维，前缀和）

给定一个括号串，可以可以将其切上几刀或者不切，将其变为若干个合法括号串，问有多少种切的方式？

合法括号串：串内左右括号数量相等，且任意前缀内左括号数量不少于右括号。

$\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }\le 10^6|s|\backslash leq\; 10^6$，答案对 $10^9+710^9+7$ 取模

若干个合法括号串的拼接必然也是一个合法括号串，所以我们直接对原括号串扫一遍，看看合不合法。

如果合法，我们重新开始，每找到能切的地方就标记一下，最后记标记的总数量为 $cntcnt$，那么最后答案就是 $2^{cnt}2^\{cnt\}$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 1000010;
const LL mod = 1e9 + 7;
int n = 0, a[N], sum[N];
int main()
{
    //read
    string s;
    cin >> s;
    for (char c : s) a[++n] = c == '(' ? 1 : -1;
    //solve
    bool NoSolution = false;
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
        if (sum[i] == 0 && i != n) cnt++;
        if (sum[i] < 0) NoSolution = true;
    }
    if (sum[n] != 0) NoSolution = true;
    if (NoSolution) {
        cout << -1;
        return 0;
    }
    LL ans = 1;
    for (int i = 0; i < cnt; ++i)
        ans = ans * 2 % mod;
    cout << ans;
    return 0;
}

E题 筑巢 （树形DP）

给定一棵树，树上的点和边都拥有一个舒适值。

现在想要在树上选择一个连通块，使得连通块内部的点和边的舒适值之和最大。

$n\le 10^5,\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }\le 10^{9}n\backslash leq\; 10^5,|w|\backslash leq\; 10^9$

我们考虑一手树形 DP，从根节点 1 开始，那么显然，这个连通块要么包含自己，要么在它的某一棵子树中。

那么，我们尝试设立状态 $d{p}_{x,0\mathrm{/}1}dp\_\{x,0/1\}$，表示点 $xx$ 在选或者不选下的所得连通块最大值，那么有 DP 方程：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 100010;

int n, w[N];
struct Edge { int to, val; };
vector<Edge> tree[N];
LL dp[N][2];
void dfs(int x, int fa) {
    dp[x][0] = -1e18, dp[x][1] = w[x];
    for (Edge e : tree[x]) {
        int y = e.to, v = e.val;
        if (y != fa) {
            dfs(y, x);
            dp[x][0] = max(dp[x][0], max(dp[y][0], dp[y][1]));
            dp[x][1] = dp[x][1] + max(dp[y][1] + v, 0LL);
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> w[i];
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int x, y, v;
        cin >> x >> y >> v;
        tree[x].push_back((Edge){y, v});
        tree[y].push_back((Edge){x, v});
    }
    dfs(1, 0);
    cout << max(dp[1][0], dp[1][1]);
    return 0;
}

F题 交换

题面很详细且简洁，就不翻译了。

我们记排列长度 $p=10p=10$。

对于每次询问，我们考虑枚举所有可能的区间并进行操作，总复杂度为 $O(m{n}^{3}p)O(mn^3p)$。

我们参考这场的前缀和训练题 牛牛的猜球游戏，来对区间操作进行优化，可以将复杂度降到 $O(m{n}^{2}p)O(mn^2p)$。不过显然，枚举的复杂度降不了了，必须得进行优化。

（我一开始以为这个答案长度可以二分，等比赛结束了才发现这个不符合二分性质）

注意到一个性质：对于 $p=10p=10$，排列的所有可能仅有 $10!=362880010!=3628800$ 种，这意味着我们可以直接从排列中枚举，将复杂度降到 $O(mp!p)O(mp!p)$。但问题是， $n=2\ast 10^{3}n=2*10^3$ 的规模，$n^{2}n^2$ 和 $p!p!$ 是一个数量级的，也没啥用啊？

我们换一个角度考虑，在每次询问中，我们已经知道了原排列，需要将其变为一个按照升序来的新排列，那么，我们不难构造出这个操作序列是咋样的，之后直接在所有排列中查找这个操作序列是否存在即可。

Trie树

Trie树是为了实现字符串的快速检索，同样的，它也可以实现排列的检索。

不过这个Trie树应该开多大是应该先算好的（毕竟空间有限），我们可以，手建一棵排列长度为 4 的Trie树，计算一下大小看看。

我们记一个排列长度为 $kk$ 的Trie树的大小为 $f(k)f(k)$（按照节点数的数量来算），找规律发现：$f(k)=kf(k-1)+1,f(1)=2f(k)=kf(k-1)+1,f(1)=2$。

这是一个阶乘增长的函数（查表发现 $f(n)={\sum }_{k=0}^n{\displaystyle \frac{n!}{k!}}f(n)=\backslash sum\backslash limits\_\{k=0\}^n\backslash dfrac\{n!\}\{k!\}$），递推可得 $f(10)=9864101f(10)=9864101$，就离谱（我们得开一个将近 $10^{8}10^8$ 规模的 int 数组，还好内存限制是 512M，再加上很多叶子节点不需要向下扩展，所以实际上很多空间是未被使用的，所以不会被记入使用范围）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2010, SIZE = 1e7 + 10;
struct State {
    int a[11];
    State(){}
    State(int k, int *arr) {
        for (int i = 1; i <= k; ++i) a[i] = arr[i];
        for (int i = k + 1; i <= 10; ++i) a[i] = i;
    }
    void Swap(int x, int y) { swap(a[x], a[y]); }
};
//
int Trie[SIZE][11], V[SIZE], tot = 0;
void insert(State s, int val) {
    int p = 0, *arr = s.a;
    for (int i = 1; i <= 10; ++i) {
        int x = arr[i];
        if (!Trie[p][x]) Trie[p][x] = ++tot, V[tot] = val;
        p = Trie[p][x];
        V[p] = min(V[p], val);
    }
}
int search(int k, State s) {
    int p = 0, *arr = s.a;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
        p = Trie[p][arr[i]];
        if (!p) return -1;
    }
    return ***}
int n, m, x[N], y[N];
State opt[N][2];
int main()
{
    //read
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
    //init
    for (int i = 1; i <= 10; ++i)
        opt[0][0].a[i] = i;
    insert(opt[0][0], 0);
    for (int i = 1; i <= n + 1; ++i)
        opt[i][0] = opt[0][0];
    for (int len = 1; len <= n; ++len) {
        for (int i = 1; i + len - 1 <= n; ++i) {
            opt[i][len % 2] = opt[i + 1][(len - 1) % 2];
            opt[i][len % 2].Swap(x[i], y[i]);
            insert(opt[i][len % 2], len);
        }
    }
    //query
    while (m--) {
        int k, a[11];
        scanf("%d", &k);
        for (int i = 1; i <= k; ++i)
            scanf("%d", &a[i]);
        State s(k, a);
        printf("%d\n", search(k, s));
    }
    return 0;
}

康托展开+哈希

显然，我们可以将排列通过康托展开来映射为一个数，然后开一个哈希表来进行 $O(1)O(1)$ 查找。

int calc(int n, int *arr) {
    int vis[20];
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    int res = 1;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int x = arr[i], cnt = 0;
        vis[x] = 1;
        for (int j = 1; j < x; ++j) if (!vis[j]) cnt++;
        //f[k]=k!
        res += cnt * f[n - i];
    }
    return res;
}

不过比较尴尬的是，我们构造出来的操作序列往往不止一种，很有可能是若干种（例如将排列 $[6,4,2,5,3,1][6,4,2,5,3,1]$ 变为 $[1,2,3,4,5,6][1,2,3,4,5,6]$，那么构造的操作序列应为 $[6,4,2,5,3,1,\ast ,\ast ,\ast ,\ast ][6,4,2,5,3,1,*,*,*,*]$，即后四位不固定）。那么，我们总不能一个个枚举来查吧？

康托展开有一个比较让人平和的性质：假设一个排列的前 $mm$ 位确定了，后 $n-mn-m$ 位不确定，那么记后 $n-mn-m$ 位从小到大排序，所得康托展开值为 $f+1f+1$，那么其从大到小排序所得的展开值为 $f+(n-m)!f+(n-m)!$，且所有可能排列的区间值均在 $[f+1,f+(n-m)!][f+1,f+(n-m)!]$ 之间。

我们可以开一棵线段树当哈希表，然后每次查询看看区间有没有符合要求的值即可。

//代码略，有空去参考下别的dalao写的代码