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题目一：小兰的图书馆路径规划

1️⃣：使用动态规划解决网格路径最小成本问题

2️⃣：处理边界条件，初始化第一行和第一列

3️⃣：应用状态转移方程计算最优路径

难度：中等

这道题目是经典的网格路径动态规划问题。关键在于理解只能向右或向下移动的限制，通过动态规划的状态转移方程 dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) 来找到最小成本路径。需要特别注意边界条件的处理。

01. 小兰的图书馆路径规划

问题描述

小兰是一家大型图书馆的管理员。图书馆有一个巨大的书架区域，按照 行 列的网格排列。每个网格位置都有一个数字，表示在该位置整理书籍所需要的时间成本（单位：分钟）。

小兰需要从图书馆的入口（左上角位置）出发，到达图书馆的出口（右下角位置）。由于图书馆的通道设计限制，她只能沿着通道向右移动或向下移动，不能向左或向上移动，也不能斜向移动。

在移动过程中，小兰需要经过每个网格位置并花费相应的时间整理书籍。请帮助小兰规划一条路径，使得她从入口到出口的总时间成本最小。

输入格式

第一行包含两个正整数 和 ，分别表示图书馆书架区域的行数和列数。

接下来 行，每行包含 个非负整数，第 行第 个数字表示位置 的时间成本。

输出格式

输出一个正整数，表示从入口到出口的最小总时间成本。

样例输入

3 3
1 2 3
4 5 6
7 8 9

样例输出

21

数据范围

样例	解释说明
样例1	小兰从位置 出发，经过路径 ，总成本为 。但最优路径为 ，总成本为 。实际最优路径为 ，总成本为 。

题解

这道题是经典的动态规划问题，也被称为"网格路径最小成本"问题。

问题分析：

从题目描述可以看出，小兰只能向右或向下移动，这意味着到达任意位置 只有两种可能：

• 从上方位置 向下移动而来
• 从左方位置 向右移动而来

因此，要使到达位置 的总成本最小，我们应该选择这两种路径中成本更小的那一条。

解法思路：

使用动态规划来解决这个问题。定义 表示从起点 到达位置 的最小总成本。

状态转移方程为：

• （起点的成本就是该位置的时间成本）
• 

其中 是位置 的时间成本。

边界处理：

• 第一行：只能从左边移动过来，
• 第一列：只能从上边移动下来，

算法步骤：

1. 初始化 数组
2. 设置起点：
3. 处理第一行和第一列的边界情况
4. 使用状态转移方程填充剩余的 数组
5. 返回 ，即到达终点的最小成本

时间复杂度分析：

时间复杂度为 ，需要遍历整个网格一次。对于题目给定的数据范围（），这个复杂度完全可以接受。

空间复杂度可以优化到 ，因为计算当前行时只需要上一行的信息。

参考代码

• Python

import sys
input = lambda: sys.stdin.readline().strip()

def solve():
    # 读取网格尺寸
    m, n = map(int, input().split())
    
    # 读取网格数据
    grid = []
    for i in range(m):
        row = list(map(int, input().split()))
        grid.append(row)
    
    # 初始化动态规划数组
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    
    # 设置起点
    dp[0][0] = grid[0][0]
    
    # 处理第一行（只能从左边过来）
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
    
    # 处理第一列（只能从上边下来）
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0]