✅ 秋招备战指南 ✅

💡 学习建议：

• 先尝试独立解题
• 对照解析查漏补缺

🧸 题面描述背景等均已深度改编，做法和题目本质基本保持一致。

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题目一：括号匹配大师

1️⃣：理解卡特兰数的组合数学含义，计算合法括号序列数量

2️⃣：考虑多种括号类型的选择，使用快速幂计算

3️⃣：结合卡特兰数递推公式和模逆元进行高效计算

难度：中等

这道题目考查卡特兰数的经典应用。关键在于认识到长度为 的合法括号串需要 对括号，每对括号有 种选择。通过卡特兰数计算配对方案数，再乘以类型选择数，得到最终答案 。

题目二：小基的魔法硬币翻转

1️⃣：将问题转化为最大子段和问题，0视为+1，1视为-1

2️⃣：使用Kadane算法找到最大子段和及其位置

3️⃣：结合原始1的数量计算最终答案

难度：中等

这道题目巧妙地将硬币翻转问题转化为经典的最大子段和问题。通过合理的转换（0→+1，1→-1），使得原问题变为寻找和最大的连续子数组。Kadane算法能够在 时间内高效解决，同时记录最优区间位置。

01. 括号匹配大师

问题描述

小基 是一名程序员，她最近在研究括号匹配问题。在编程语言中，常见的括号包括圆括号 、方括号 、花括号 等。小基 发现，一个合法的括号串需要满足以下三个条件之一：

1. 该括号串是空串。
2. 该括号串形如 ，其中 和 是一对匹配的括号（即 为左括号， 为右括号），而 是一个合法的括号串。
3. 该括号串形如 ，其中 和 都是合法的括号串。

现在，小基 想知道：给定可使用的括号种类数 和括号串长度 ，有多少种不同的合法括号串可以组成？由于答案可能很大，小基 只需要知道答案对 取模的结果。

输入格式

输入一行，包含两个正整数 和 ，分别表示括号串的长度和允许使用的括号种类数。

输出格式

输出一个整数，表示长度为 的合法括号串的数量对 取模的结果。

样例输入

6 2

样例输出

40

数据范围

• 
• 
• 输入保证 为偶数

样例	解释说明
样例1	当 ， 时，我们有 种括号可以使用，需要组成长度为 的合法括号串。根据卡特兰数计算，，再乘以 ，得到答案

题解

这道题本质上是一个组合数学问题，核心是卡特兰数的应用。

首先理解什么是合法的括号串。从题目描述可以看出，合法括号串必须满足每个左括号都有对应的右括号匹配，且在任意前缀中，左括号数量不少于右括号数量。

关键观察：对于长度为 的括号串，我们实际上需要 对括号。每对括号的类型有 种选择。

解题思路分为两个部分：

1. 计算括号配对方案数：这就是经典的卡特兰数问题。对于 对括号，合法的配对方案数为第 个卡特兰数 。卡特兰数可以用递推公式计算：，其中 。

2. 计算括号类型选择数：每对括号都有 种类型可以选择，所以总的类型选择方案数为 。

最终答案就是：。

算法步骤：

1. 初始化卡特兰数
2. 通过循环计算第 个卡特兰数
3. 计算 的 次幂
4. 将两者相乘得到最终结果

时间复杂度为 ，空间复杂度为 ，对于给定的数据范围完全可以接受。

参考代码

• Python

import sys
input = lambda: sys.stdin.readline().strip()

def solve():
    # 读取输入数据
    n, k = map(int, input().split())
    mod = 998244353
    
    # 计算模逆元的快速幂函数
    def pow_mod(base, exp, m):
        res = 1
        base %= m
        while exp > 0:
            if exp & 1:
                res = res * base % m
            base = base * base % m
            exp >>= 1
        return res
    
    # 计算逆元
    def inv(x):
        return pow_mod(x, mod - 2, mod)
    
    # 计算第 n/2 个卡特兰数
    m = n // 2
    cat = 1
    for i in range(m):
        cat = cat * (4 * i + 2) % mod
        cat = cat * inv(i + 2) % mod
    
    # 计算 k^(n/2)
    k_pow = pow_mod(k, m, mod)
    
    # 最终结果
    ans = cat * k_pow % mod
    print(ans)

solve()

• Cpp

#include 
using namespace std;

const int MOD = 998244353;

// 快速幂函数
long long qpow(long long a, long long b) {
    long long res = 1;
    a %= MOD;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) res = res * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

// 计算逆元
long long inv(long long x) {
    return qpow(x, MOD - 2);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    
    int m = n / 2;
    long long cat = 1;
    
    // 计算卡特兰数
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cat = cat * (4LL * i + 2) % MOD;
        cat = cat * inv(i + 2) % MOD;
    }
    
    // 计算 k 的 m 次幂
    long long k_pow = qpow(k, m);
    
    // 输出结果
    long long ans = cat * k_pow % MOD;
    cout << ans << endl;
    
    return 0;
}

• Java

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static final int MOD = 998244353;
    
    // 快速幂函数
    static long powMod(long base, long exp) {
        long result = 1;
        base %= MOD;
        while (exp > 0) {
            if ((exp & 1) == 1) {
                result = result * base % MOD;
            }
            base = base * base % MOD;
            exp >>= 1;
        }
        return result;
    }
    
    // 计算逆元
    static long modInv(long x) {