【数据结构与算法】“堆”还能这样用_堆的应用
💛 前情提要💛
本章节是数据结构的堆的应用的相关知识~
接下来我们即将进入一个全新的空间，对代码有一个全新的视角~
以下的内容一定会让你对数据结构有一个颠覆性的认识哦！！！
❗以下内容以C语言的方式实现，对于数据结构来说最重要的是思想哦❗
以下内容干货满满，跟上步伐吧~
💡本章重点
堆排序
Top-K问题
🍞堆的应用
🥐Ⅰ.堆排序
💡堆排序：
本质为选择排序的一种
堆排序便是利用
堆这种数据结构的思想进行排序
✊如果有同学不太熟悉堆，可点击⌈跳转⌋补充知识再出发呀
🔥 思想：
- 每一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，直到全部待排序的数据元素排完
❓思考： 如何利用堆进行排序
- 假如排
升序，我们利用小堆进行排序的话：
我们建好一个小堆后，因为小堆的特性为
最小的数在根节点处（最上面），我们便排好升序中的第一个数字此时我们再继续排剩下的数字，便需要在
建堆的时候剔除已经排好的数字，继而将剩下的重新的建堆，选最小的数字重复上述步骤即可
❗特别注意：
- 如果按照上述方法进行排序的话，有两个问题：
- 🔴第一次建好堆后，在选出最小的数字放到第一个位置紧接着要选出次小的（即进行第二次建堆选数，谁去做新的根节点），如何选？
Eg：
🟠假如按数组的下标顺下去，让下一个数作为新的根结点（即指上图中的
5）的话，那树原来的结构就被打乱了，需要重新建堆，才能再次选出最小的- 建堆的时间复杂度为
，那整体排序下来时间复杂度便为
- 建堆的时间复杂度为
🟡最终发现如果按照这种方式进行排序的话，相当于
建堆的作用就是选数，还不如直接遍历数组选数进行排序，那次是堆排序就没有意义了
⭐但事实真的是这样吗？并不！
➡️方法：
- 1️⃣建堆
假如我们调转一下思路，排升序不用小堆，而是：
升序：建
大堆降序：建
小堆
Eg：
- 2️⃣利用
堆删除的思想进行排序
- 将
堆顶的数据与堆尾数据进行交换，这样就达到排好最大值的效果
将排好的数字不再纳入
建堆中【即建堆的目的就是选出最大值，所以已经选出来的，就无需要再参加】并将交换后产生新的树进行重新
建堆【因为此时只有根节点发生变化，而左、右子树的关系并没有改变，所以可以利用向下调整算法进行建堆】
4. 重复上述步骤即可，直至堆里只剩下一个元素，才截止
✊动图示例： 完整过程
✊综上：堆排序的代码实现【时间复杂度：】
void ADjustDown(int * a, int n, int parent)
{
//大堆
int child = parent * 2 + 1;
while (child < n)
//当 孩子的下标 超出 数组的范围，则说明不存在
{
//1.选出左右孩子中，较小的一个
//child -- 左孩子下标；child+1 -- 右孩子下标
if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])
{
//想象的时候：默认左孩子是比右孩子小
//如果大的话，child就走到右孩子下标处
child++;
}
//2.交换
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
//满足的情况
break;
}
}
} void HeadSort(int* a,int n)
{
//建堆 --- 时间复杂度:O(N)
//大堆
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
ADjustDown(a, n, i);
}
int end = n - 1;
while (end > 0)
//end = 0的时候就截止：即 长度为0就截止
{
Swap(&a[0], &a[end]);
//选出次大值
ADjustDown(a, end, 0);
end--;
}
} 🥐Ⅱ.Top-K问题
💡Top - K：
意思就是：求数据中
前K个最大的元素或者最小的元素比如：在高考出成绩时，需要对全省考生的成绩进行排序并取出前50名考生的成绩进行封锁，此时就涉及
Top-K问题了
👉我们便以题目去理解它吧~
🏷️最小的K个数【难度：简单】
:mag:题目传送门：
| 剑指 Offer 40. 最小的k个数 |
|---|
输入整数数组 arr ，找出其中最小的 k个数
例如，输入4、5、1、6、2、7、3、8这8个数字，则最小的4个数字是1、2、3、4
- 示例 1：
输入：arr = [3,2,1], k = 2 输出：[1,2] 或者 [2,1]
- 示例 2：
输入：arr = [0,1,2,1], k = 1 输出：[0]
💡解题关键： 找出前K个最小的元素
➡️ 思路一：堆排序
- 利用我们刚刚所学的
堆排序，对数组进行排序，然后取出前K个即可
❗特别注意：
- 我们需要自己先实现一个
堆排序，再进行使用 - 在用完
堆后，记得销毁，否则会造成内存泄露
👉实现：
int* getLeastNumbers(int* arr, int arrSize, int k, int* returnSize)
{
int* returnArray = (int*)malloc(k * sizeof(int)) ;
HeadSort(arr,arrSize);
for(int i = 0; i < k; i++)
{
returnArray[i] = arr[i];
}
*returnSize = k;
return returnArray;
} 💫但目前
堆排序的效率为：，是否还能优化呢？
⭐答案是可以的
➡️ 思路二： 建堆
根据题意，我们只需要取出最小的前
K个数即可，那我们便可以不对数组进行排序，而是利用小堆的特性：每个父亲结点的值总是≤孩子结点的值只需要对这个数组进行
建堆（建成小堆）即可，然后每次都取出根节点（最小值），一共取K次，便是最小的前K个元素
❗特别注意：
- 我们需要自己先实现一个
堆，再进行使用
👉实现：
1️⃣实现堆
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* a;
int size;
int capacity;
}HP;
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);
void AdjustDwon(HPDataType* a, int size, int parent);
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
void HeapDestroy(HP* php);
void HeapPop(HP* php);
HPDataType HeapTop(HP* php);
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
void HeapInit(HP* php, HPDataType* a, int n)
{
assert(php);
php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*n);
if (php->a == NULL)
{
printf("malloc fail\n");
exit(-1);
}
//1.拷贝
memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType)*n);
php->size = n;
php->capacity = n;
//2.建堆
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDwon(php->a, php->size, i);
}
}
void HeapDestroy(HP* php)
{
assert(php);
free(php->a);
php->a = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
//while (parent >= 0)
while (child > 0)
{
//if (a[child] < a[parent])
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
//建小堆
void AdjustDwon(HPDataType* a, int size, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < size)
{
// 选出左右孩子中小/大的那个
if (child+1 < size && a[child+1] < a[child])
{
++child;
}
// 孩子跟父亲比较
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
Swap(&(php->a[0]), &(php->a[php->size - 1]));
php->size--;
AdjustDwon(php->a, php->size, 0);
}
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
return php->a[0];
} 2️⃣实现Top-K
int* getLeastNumbers(int* arr, int arrSize, int k, int* returnSize)
{
HP hp;
HeapInit(&hp,arr,arrSize);
int* retArr = (int*)malloc(sizeof(int)*k);
for(int i = 0;i < k; i++)
{
retArr[i] = HeapTop(&hp);
HeapPop(&hp);
}
HeapDestroy(&hp);
*returnSize = k;
return retArr;
} 💫但目前
堆的效率为：，是否还能优化呢？
⭐答案是可以的
➡️ 思路三： 建前K个数的堆
类似于
建堆的操作，但不同的是，建堆是对数组内全部元素进行调整但我们现在只需要针对前
K个数进行建堆即可
❗特别注意：
找前
k个最大的元素，则建小堆找前
k个最小的元素，则建大堆
👉步骤：
1️⃣用数据集合中前
K个元素来建堆【因为这里需要找前K个最小的元素，所以建大堆】2️⃣剩余的
N-K个元素（N为总元素个数）依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素，再向下调整3️⃣将剩余
N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素
【我们现在这里建的是大堆，如果与堆顶元素比较时，外面的某个元素小于堆顶的值，则为不满足】
❗特别注意：
🔴本质：通过数组剩下的
N-K个元素，找到比前K个元素的堆中的堆顶元素小的元素，进行轮换1️⃣即在剩下的元素中，找到比堆顶还小的元素，不断轮换
堆中元素的最大值2️⃣因为要找的是最小的
K个元素，所以最小的前K个一定比大堆堆顶的数据小，一定可以进堆中
🟡这也是为什么建
大堆的原因，保证前K个最小的元素中的最小值进来一定不会在堆顶位置（以防前K个最小的元素中的最大值进不来）🔵现在即使是前
K个最小的元素中的最大值进堆，那前K-1个最小的元素还是依然可以进堆🟣直至这
K个数据的堆不再进入元素，说明此时堆内的K个数据就是前K个最小的元素【堆外面没有比这K个元素更小的数了】
⭐亮点：
1️⃣在面对大量数据且无论多大的时候，需要解决
Top-K问题时，这个方法依然受用，因为我们始终是在维护一个K个数的堆【只需要遍历剩下的元素进行比较、进堆、向下调整而已】2️⃣此方法的时间复杂度始终为：
这是因为需要遍历
N-K个元素与堆顶元素进行比较若不满足进堆后，需要向下调整（有
K个元素进行向下调整）【】
3️⃣此方法的空间复杂度为：
✊动图示例：
👉实现：
1️⃣实现建堆
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);
void AdjustDwon(HPDataType* a, int size, int parent);
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
//建大堆
void AdjustDwon(HPDataType* a, int size, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < size)
{
// 选出左右孩子中小/大的那个
if (child+1 < size && a[child+1] > a[child])
{
++child;
}
// 孩子跟父亲比较
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
} 2️⃣实现Top-K
int* getLeastNumbers(int* arr, int arrSize, int k, int* returnSize)
{
if(k == 0)
{
*returnSize = 0;
return NULL;
}
int* arrRet = (int*)malloc(sizeof(int)*k);
//找前K个最小 -- 前k个数建大堆
for(int i = 0; i < k; i++)
{
arrRet[i] = arr[i];
}
for(int j = (k-1-1) / 2; j >= 0; j--)
{
AdjustDwon(arrRet,k,j);
}
//剩下的N-K个数，比堆顶小的，就替换堆顶数据，进堆调整
for(int l=k;l<arrSize; l++)
{
if(arr[l] < arrRet[0])
{
arrRet[0] = arr[l];
AdjustDwon(arrRet, k, 0);
}
}
*returnSize = k;
return arrRet;
} 🥯Ⅲ.总结
✨综上：就是堆的应用啦~
➡️相信大家对堆的应用有不一样的看法了吧🧡
🫓总结
综上，我们基本了解了数据结构中的 “堆的应用” :lollipop: 的知识啦~~
恭喜你的内功又双叒叕得到了提高！！！
感谢你们的阅读:satisfied:
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