三角形相关重点

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三角形重点

设三角形的三条边为a, b, c, 且不妨假设a <= b <= c.

面积

三角形面积可以根据海伦公式求得：

s = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c));
p = (a + b + c) / 2;

关键点与A, B, C三顶点距离之和

费马点

该点到三角形三个顶点的距离之和最小。
有个有趣的结论:
若三角形的三个内角均小于120度,那么该点连接三个顶点形成的三个角均为120度;若三角形存在一个内角大于120度,则该顶点就是费马点。
计算公式如下:
若有一个内角大于120度(这里假设为角C),则距离为a + b;若三个内角均小于120度,则距离为sqrt((a * a + b * b + c * c + 4 * sqrt(3.0) * s) / 2)。

内心

角平分线的交点。
令x = (a + b - c) / 2, y = (a - b + c) / 2, z = (-a + b + c) / 2, h = s / p.
计算公式为sqrt(x * x + h * h) + sqrt(y * y + h * h) + sqrt(z * z + h * h)。

重心

中线的交点。
计算公式如下:
2.0 / 3 * (sqrt((2 * (a * a + b * b) - c * c) / 4)
+ sqrt((2 * (a * a + c * c) - b * b) / 4) + sqrt((2 * (b * b + c * c) - a * a) / 4))。

垂心

垂线的交点。
计算公式如下:
3 * (c / 2 / sqrt(1 - cosC * cosC))。

外心

三点求圆心坐标。

Point waixin(Point a, Point b, Point c)
{
    double a1 = b.x - a.x, b1 = b.y - a.y, c1 = (a1 * a1 + b1 * b1) / 2;
    double a2 = c.x - a.x, b2 = c.y - a.y, c2 = (a2 * a2 + b2 * b2) / 2;
    double d = a1 * b2 - a2 * b1;
    return Point(a.x + (c1 * b2 - c2 * b1) / d, a.y + (a1 * c2 -a2 * c1) / d);
}