【洛谷P1256】公路修建（问题分析+最小生成树prim法）

题目描述

某国有n个城市，它们互相之间没有公路相通，因此交通十分不便。为解决这一“行路难”的问题，政府决定修建公路。修建公路的任务由各城市共同完成。

修建工程分若干轮完成。在每一轮中，每个城市选择一个与它最近的城市，申请修建通往该城市的公路。政府负责审批这些申请以决定是否同意修建。

政府审批的规则如下：

（1）如果两个或以上城市申请修建同一条公路，则让它们共同修建；

（2）如果三个或以上的城市申请修建的公路成环。如下图，A申请修建公路AB，B申请修建公路BC，C申请修建公路CA。则政府将否决其中最短的一条公路的修建申请；

（3）其他情况的申请一律同意。

一轮修建结束后，可能会有若干城市可以通过公路直接或间接相连。这些可以互相：连通的城市即组成“城市联盟”。在下一轮修建中，每个“城市联盟”将被看作一个城市，发挥一个城市的作用。

当所有城市被组合成一个“城市联盟”时，修建工程也就完成了。

你的任务是根据城市的分布和前面讲到的规则，计算出将要修建的公路总长度。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数n，表示城市的数量。(n≤5000)

以下n行，每行两个整数x和y，表示一个城市的坐标。(-1000000≤x，y≤1000000)

输出格式：

一个实数，四舍五入保留两位小数，表示公路总长。（保证有惟一解）

输入输出样例

输入样例#1： 复制

输出样例#1： 复制

6.47

解题思路：

其实并不存在规则中的第二种情况，假设存在等边三角形，如下：

如果A申请AC，C申请CB,B申请BA,则可能重现第二中情况，取消一条最短边，修路长度=3+3

但是A也可以申请AB,这样的话就让A和B共同修建AB,C自己修建CB，修路长度=3+3；两种选择结果都是一样的。

而且不存在非等n边形的回路（可以举个非等n边形的例子试试，不会出现回路），等n边形回路的情况又可以等价转化为第一种情况，则又不存在回路了。

所以第二种情况实际上是不存在的。

ac代码：

注意和prim的模版写法不太一样

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 5005
#define inf 0x3fffffff
using namespace std;
typedef long long ll;
struct Node{
    int x,y;
}node[maxn];
int vis[maxn]={0};
double dis[maxn];
double node_dis(Node a,Node b)
{
    return sqrt(double(a.x-b.x)*(a.x-b.x)+double(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
int main()
{
    //freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);
    int n;
    double ans=0;
    scanf("%d",&n);
    fill(dis,dis+n,inf);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d %d",&node[i].x,&node[i].y);
    dis[0]=0;
    for(int i=0;i<n;i++)//n次
    {
        double min=inf;
        int k=-1;
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(dis[j]<min&&!vis[j])
            {
                min=dis[j];
                k=j;
            }
        }
        vis[k]=1;
        ans+=dis[k];
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            double d=node_dis(node[k],node[j]);
            if(!vis[j]&&d<dis[j])//未访问
               dis[j]=d;
        }
    }
    printf("%.2lf",ans);
    return 0;
}