题目来自刘汝佳的《算法竞赛入门经典（第二版）》，下面实现代码均为Java

简单枚举

问题1：

  输入正整数 $n$n， 按从小到大的顺序输出所有形如 $abcde/fghij=n$abcde/fghij=n的表达式， 其中 $a～j$a～j恰好为数字 $0～9$0～9的一个排列(可以有前导0)，其中 $2\le n\le 79$2≤n≤79
解题思路：直接枚举所有 $0～9$0～9的所有排列，枚举量为 $10!=3628800$10!=3628800，可以只枚举 $fghij$fghij，枚举量下降至不到10万
下面是枚举 $fghij$fghij的两种解法：
解法1是直接枚举 $1000$1000至 $49999$49999的所有数，枚举会有重复元素，枚举量为4万+；
解法2是递归枚举（解答树），没有枚举重复元素，枚举量为 $10\ast 9\ast 8\ast 7\ast 6=30240$10∗9∗8∗7∗6=30240。

public class Division {
    /**
     * 算法1实现
     * @param n 正整数
     * @return  所有满足abcde/fghij = n的abcdefghij列表
     */
    private List<String> solver1(int n){
        List<String> results = new ArrayList<>();
        for(Integer i = 1000;i<=49999;i++){
            String divisor  = new String(i.toString());
            if(divisor.length() < 5){
                divisor = "0" + divisor;
            }
            String dividend = new String(new Integer(i*n).toString());
            /* 如果位数共大于10 */
            if(dividend.length() + divisor.length() > 10){
                continue;
            }
            Set<Character> countSet = new HashSet<>();
            for(int j = 0;j<dividend.length();j++){
                countSet.add(dividend.charAt(j));
            }
            if(countSet.size() < 5){
                continue;
            }
            for(int j = 0;j<divisor.length();j++){
                countSet.add(divisor.charAt(j));
            }
            if(countSet.size() == 10){
                results.add(dividend + "/" + divisor + "=" + n);
            }
        }
        return results;
    }
    /**
     * 算法2实现：递归枚举
     * @param n 输入
     * @param results 保存所有结果
     * @param temp 辅助数组，记录当前已经用过的元素
     * @param cur 记录当前已经用过的元素个数
     */
    private void solver2(int n, List<String> results, Integer[] temp, int cur){
        if(cur == 5){
            String s = "";
            Set<Integer> countSet = new HashSet<>(Arrays.asList(temp));
            for(int i = 0;i<5;i++){
                s += temp[i];
            }
            String dividend = new Integer(Integer.parseInt(s) * n).toString();
            if(dividend.length() == 5){
                for(int j = 0;j<dividend.length();j++){
                    countSet.add(Integer.parseInt(dividend.substring(j,j+1)));
                }
                if(countSet.size() == 10){
                    results.add(dividend + "/" + s + "=" + n);
                }
            }
        }else{
            for(int i = 0;i<=9;i++){
                boolean flag = true;
                for(int j = 0;j<cur;j++){
                    if(temp[j] == i){
                        flag = false;
                        break;
                    }
                }
                if(flag){
                    temp[cur] = i;
                    solver2(n, results, temp, cur+1);
                }
            }
        }
    }
   /**
     * 输出结果
     */
    public void solution(){
        int n = 3;
        /* 解法1 */
        for(String s:solver1(n)){
            System.out.println(s);
        }
        System.out.println();
        /* 解法2 */
        List<String> results = new ArrayList<>();
        Integer[] temp = new Integer[5];
        Arrays.fill(temp, -1);
        solver2(n, results, temp, 0);
        for(String s:results){
            System.out.println(s);
        }

    }
    public static void main(String[] args){
        Division division = new Division();
        division.solution();
    }
}

问题2：

  输入正整数 $k$k， 找到所有的正整数 $x\ge y$x≥y，使得 $\frac{1}{k}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$k1​=x1​+y1​
解题思路：首先发现 $x=y=2k$x=y=2k时等式成立，因此只要枚举 $k\&lt;y\le 2k$k<y≤2k即可，根据 $k$k和 $y$y判断求出的 $x=\frac{k\ast y}{y-k}$x=y−kk∗y​是否为整数

/**
     * 算法实现
     * @param k 正整数k
     * @return 所有满足1/k = 1/x + 1/y的x和y的列表
     */
    private List<int[]> solver1(int k){
        List<int[]> results = new ArrayList<>();
        /* 枚举y */
        for(int y = k+1;y<=2*k;y++){
            double temp = (double) k*y/(y-k);
            if(temp == (int) temp){
                results.add(new int[]{(int) temp, y});
            }
        }
        return results;
    }
    /**
     * 输出结果
     */
    public void solution(){
    	/* 输入 */
        int k = 12;
        for(int[] result:solver1(k)){
            System.out.println("1/" + result[0] + " + " + "1/" + result[1] + " = " + "1/" + k);
        }
    }
    public static void main(String[] args){
        Fractions fractions = new Fractions();
        fractions.solution();
    }

问题3：

  输入 $n$n个元素组成的序列 $S$S， 你需要找出一个乘积最大的连续子序列。 如果这个最大的乘积不是正数， 应输出 $0$0。 其中 $1\le n\le 18$1≤n≤18， $-10\le S_i\le 10$−10≤Si​≤10。
解题思路：直接枚举起点 $i$i到终点 $j$j的乘积，找出最大值即可（虽然所有元素的绝对值都小于等于10，其最大乘积可能会溢出，这里我没管了= =）

public class MaxmiumProduct {
    /**
     * 算法实现
     * @param a 包含所有元素
     * @return  连续子序列最大乘积
     */
    private long solver1(int[] a){
        int n = a.length;
        long[][] product = new long[n][n];
        long maxProduct = 0;
        for(int i = 0;i<n;i++){
            long tempProduct = 1L;
            for(int j = i;j<n;j++){
                product[i][j] = tempProduct *= a[j];
                if(maxProduct < product[i][j]){
                    maxProduct = product[i][j];
                }
            }
        }
        return maxProduct;
    }
    /**
     * 输出结果
     */
    public void solution(){
    	/* 输入 */
        int a[] = new int[]{2, 4, -3, 2, 0, -2, -4, -8, 0, 4, 9, -5, -10} ;
        System.out.println(solver1(a));
    }
    public static void main(String[] args){
        MaxmiumProduct maxmiumProduct = new MaxmiumProduct();
        maxmiumProduct.solution();
    }
}

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