二分图

• 其顶点可分为两集合X和Y，所有的边关联的两顶点中，恰一个属于X，另一个属于Y。同一集合的结点不相连。
• 如果一图是二分图，那么它一定没有奇环。
• 如果一图没有奇环的话，那么他可以是二分图

二分图的判顶

• 染色法：假设DFS初始点A涂黑色，与它相邻的点涂白色。如果搜到某一个点u的相邻点v已经涂色并且与u同色，就不可能是二分图

概念

• 匹配：给定一个二分图G,在G的一个子图M中，M的边集合{E}中的任意两条边都不依附同一个顶点，则称M是一个匹配
• 最大匹配：包含的边数最多的匹配
  • 任意取一个匹配M（可以是空集或只有一条边）
  • 令S是非饱和点（尚未匹配的点）的集合
  • 如果S = 空集 ，则M已经是最大匹配
  • 从S中取出一个非饱和点u0作为起点，从此起点走交错（交替属于M和非M的边构成的极大无重复点通路或回路）P
  • 如果P是一个增广路（P的终点也是非饱和点）令M = （M-P）U（P-M）
  • 如果p都不是增广路，则从S中去掉u0 转到第三步
• 完美匹配：所有的点都在匹配边上的匹配
• 最佳匹配：如果G为加权二分图，则权值和最大的完美匹配称为最佳匹配
• 图三、图四中红色的边就是图二的匹配，图四是最大匹配也是完美匹配*
  

匈牙利算法——求二分图最大匹配

• 交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配、匹配边、非匹配边...形成的路径
• 增广路：从一个未匹配点吃法，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路
• 图五中的一条增广路如图（匹配点均用红色标出）*
  
  增广路取反【黑变红，红变黑】就可以多找一个匹配【黑色多于红色】

由增广路定义可以推出下述三个结论

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

• 1——P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M【首尾是未匹配点】
• 2——p经过取反操作后可以得到一个更大的匹配M'
• 3——M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径

算法的轮廓

• 置M为空
• 找出一条增广路径P,通过取反操作获得更大的匹配M' 代替M
• 重复第二步，直到找不出增广路径为止
• 复杂度O(V*E)