从1到n整数中1出现的次数：O(logn)算法

题目描述
输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。
题目来源
第一次看到是在《剑指Offer》第2版上，面试题32。leetcode和牛客网上都有这道题。
本文的目的
看了《剑指Offer》上的解法，我觉得不能算好：

这段解释描述有些不清晰，而且没有图，难以理解。
从书中给出的实现上来看，显得有些凌乱。
在这篇博客里，会给出一个我对这道题的解法，包括完整的解题思路，完整代码，时间复杂度分析，以及在leetcode和牛客网上的提交结果。

解题思路
考虑将n的十进制的每一位单独拿出讨论，每一位的值记为weight。

1) 个位
从1到n，每增加1，weight就会加1，当weight加到9时，再加1又会回到0重新开始。那么weight从0-9的这种周期会出现多少次呢？这取决于n的高位是多少，看图：

以534为例，在从1增长到n的过程中，534的个位从0-9变化了53次，记为round。每一轮变化中，1在个位出现一次，所以一共出现了53次。
再来看weight的值。weight为4，大于0，说明第54轮变化是从0-4，1又出现了1次。我们记1出现的次数为count，所以：
count = round+1 = 53 + 1 = 54

如果此时weight为0（n=530），说明第54轮到0就停止了，那么：
count = round = 53
2) 十位
对于10位来说，其0-9周期的出现次数与个位的统计方式是相同的，见图：

不同点在于：从1到n，每增加10，十位的weight才会增加1，所以，一轮0-9周期内，1会出现10次。即rount10。
再来看weight的值。当此时weight为3，大于1，说明第6轮出现了10次1，则：
count = round10+10 = 5*10+10 = 60

如果此时weight的值等于0（n=504），说明第6轮到0就停止了，所以：
count = round10+10 = 510 = 50

如果此时weight的值等于1（n=514），那么第6轮中1出现了多少次呢？很明显，这与个位数的值有关，个位数为k，第6轮中1就出现了k+1次(0-k)。我们记个位数为former，则：
count = round10+former +1= 510+4 = 55
3) 更高位
更高位的计算方式其实与十位是一致的，不再阐述。

4) 总结
将n的各个位分为两类：个位与其它位。
对个位来说：

若个位大于0，1出现的次数为round1+1
若个位等于0，1出现的次数为round1
对其它位来说，记每一位的权值为base，位值为weight，该位之前的数是former，举例如图：

则：
若weight为0，则1出现次数为roundbase
若weight为1，则1出现次数为roundbase+former+1
若weight大于1，则1出现次数为rount*base+base
比如：

534 = （个位1出现次数）+（十位1出现次数）+（百位1出现次数）=（531+1）+（510+10）+（0100+100）= 214
530 = （531）+（510+10）+（0100+100） = 213
504 = （501+1）+（510）+（0100+100） = 201
514 = （511+1）+（510+4+1）+（0100+100） = 207
10 = (11)+(010+0+1) = 2
5. 完整代码

代码块

public int count(int n){
if(n<1)
return 0;
int count = 0;
int base = 1;
int round = n;
while(round>0){
int weight = round%10;
round/=10;
count += roundbase;
if(weight==1)
count+=(n%base)+1;
else if(weight>1)
count+=base;
base=10;
}
return count;
}

时间复杂度分析
由分析思路或者代码都可以看出，while循环的次数就是n的位数,logn（以10为底），而循环体内执行的操作都是有限次的，所以时间复杂度为O(logn)。
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