- **正确答案**：题目示例可以是“旅行商问题（TSP）的简化版本”，使用状态压缩动态规划（状压DP）来求解。以下是该题目的描述和详细解答。 --- ### 题目描述：给定一个包含 n 个节点的带权有向图（n ≤ 16），节点编号为 0 到 n-1，要求从节点 0 出发，经过所有节点恰好一次，最后回到节点 0，求最短路径长度。 --- ### 正确答案：使用状态压缩动态规划（状压DP）解决这个问题。用 dp[state][i] 表示当前已经访问了 state 所表示的这些节点，并且当前在节点 i 时的最小路径长度。最终结果是 dp[全1状态][0] + weight[0][起点]。 --- ### 解答思路： #### 第一步：理解状态表示由于 n ≤ 16，可以用一个整数 state 来表示访问过的节点集合，其中第 i 位为 1 表示节点 i 已被访问过。例如 state = 0b1010 表示访问了节点 1 和 3。 #### 第二步：定义 DP 状态 dp[state][u] 表示当前已访问的节点集合为 state，当前位于节点 u 时的最短路径长度。初始状态： dp[1 << 0][0] = 0 （只访问了节点 0，且在节点 0） #### 第三步：状态转移对于每一个状态 state 和每一个节点 u，尝试从 u 转移到未访问过的节点 v：如果 v 不在 state 中，则新的状态为 next_state = state | (1 << v) dp[next_state][v] = min(dp[next_state][v], dp[state][u] + weight[u][v]) #### 第四步：最终答案遍历所有节点都被访问的状态（即 state == (1 << n) - 1），然后加上从 v 回到起点 0 的边权： ans = min(dp[(1 << n) - 1][v] + weight[v][0]) for all v --- ### 深度知识讲解： #### 1. 状压DP的核心思想 - 将状态压缩成一个整数，每个比特位代表一个状态或选择。 - 适用于状态空间较小、状态之间存在明确转移关系的问题。 - 时间复杂度为 O(n^2 * 2^n)，当 n <= 20 时可行。 #### 2. 数据结构与实现原理 - 使用二维数组 dp[state][u]，state 最多有 2^16 = 65536 种取值，u 最多有 16 种取值。 - 可以优化空间，比如将 dp 声明为一个一维数组，每次更新当前状态前先复制上一轮的状态。 #### 3. 应用场景 - TSP 旅行商问题 - 集合覆盖类问题（如安排会议、选课等） - 图上的路径规划问题（尤其是哈密顿回路） --- ### 示例代码（Python）： ```python import sys def tsp(n, weight): INF = float('inf') dp = [[INF] * n for _ in range(1 << n)] dp[1 << 0][0] = 0 # 初始状态：只访问了节点0，在节点0 for state in range(1 << n): # 枚举所有状态 for u in range(n): # 枚举当前所在节点u if not (state & (1 << u)): continue # 如果u不在当前状态中，跳过 for v in range(n): # 枚举下一个要走到的节点v if state & (1 << v): continue # 如果v已经被访问过，跳过 next_state = state | (1 << v) if dp[state][u] + weight[u][v] < dp[next_state][v]: dp[next_state][v] = dp[state][u] + weight[u][v] # 最终答案：所有节点都访问完后回到起点 full_mask = (1 << n) - 1 res = INF for u in range(n): res = min(res, dp[full_mask][u] + weight[u][0]) return res if res != INF else -1 ``` --- ### 扩展知识点： #### 1. 状态压缩技巧 - 位运算（&、|、~、<<）是状压DP的核心操作。 - 可以快速判断某个节点是否被访问过：if (state & (1 << node)) #### 2. 状态压缩的优化 - 使用滚动数组减少内存开销。 - 提前剪枝或记忆化搜索加速状态转移。 #### 3. 相关变种问题 - 哈密顿路径计数 - 最小生成环问题 - 带约束的路径选择问题（如必须某些点先于另一些点访问） --- 这道题不仅考察了对状压DP的理解，还涉及图论、位运算、状态转移等多个核心算法知识点，非常适合校园招聘中的算法岗面试。

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