C++实现100以内素数高效计算

问题描述

编写一个C++程序，输出100以内的所有素数。素数是只能被1和它本身整除的自然数，且大于1。

方法一：基础判断法

通过遍历2到100之间的每个数，检查是否为素数。对于每个数n，检查从2到sqrt(n)之间是否有能整除n的数。

#include <iostream>
#include <cmath>

bool isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    for (int i = 2; i <= std::sqrt(n); ++i) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    for (int i = 2; i <= 100; ++i) {
        if (isPrime(i)) {
            std::cout << i << " ";
        }
    }
    return 0;
}

方法二：埃拉托斯特尼筛法

使用筛法高效找出100以内的所有素数。筛法的核心思想是标记非素数，剩下的即为素数。

#include <iostream>
#include <vector>

void sieveOfEratosthenes(int n) {
    std::vector<bool> isPrime(n + 1, true);
    isPrime[0] = isPrime[1] = false;
    for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
        if (isPrime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                isPrime[j] = false;
            }
        }
    }
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (isPrime[i]) {
            std::cout << i << " ";
        }
    }
}

int main() {
    sieveOfEratosthenes(100);
    return 0;
}

方法三：优化基础判断法

在基础判断法的基础上，跳过偶数（除了2），减少不必要的检查。

#include <iostream>
#include <cmath>

bool isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    if (n == 2) return true;
    if (n % 2 == 0) return false;
    for (int i = 3; i <= std::sqrt(n); i += 2) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    for (int i = 2; i <= 100; ++i) {
        if (isPrime(i)) {
            std::cout << i << " ";
        }
    }
    return 0;
}

方法四：预生成素数表

对于固定范围（如100以内），可以预先生成素数表，直接输出结果。

#include <iostream>

int main() {
    int primes[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97};
    for (int prime : primes) {
        std::cout << prime << " ";
    }
    return 0;
}

性能对比

1. 基础判断法：适用于小范围，逻辑简单但效率较低。
2. 筛法：适合大范围，时间复杂度为O(n log log n)。
3. 优化基础法：比基础法快，但仍不如筛法高效。
4. 预生成表：适合固定范围，效率最高但灵活性差。

输出结果

无论采用哪种方法，程序输出的100以内素数均为：

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

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