动态规划巧解数字排列问题

题目概述

P4163 [SCOI2007] 排列是一道经典的动态规划题目，题目要求给定一个数字字符串和一个整数 $d$，计算出所有排列中能被 $d$ 整除的排列数目。数字字符串中可能包含重复数字，需要避免重复计数。

解题思路

这道题的核心在于利用动态规划和状态压缩来处理排列问题。由于数字字符串的长度最多为 10，可以使用位掩码（bitmask）来表示数字的使用情况，同时记录当前排列模 $d$ 的余数。

定义状态 $dp[mask][r]$ 表示当前使用的数字集合为 $mask$，且当前排列模 $d$ 的余数为 $r$ 时的方案数。初始状态为 $dp[0][0] = 1$，表示没有使用任何数字时余数为 0 的方案数为 1。

状态转移时，枚举所有未被使用的数字，更新新的 $mask$ 和新的余数 $r'$。新的余数可以通过公式计算： $$ r' = (r \times 10 + \text{digit}) \mod d $$ 其中 $\text{digit}$ 是当前选择的数字。

避免重复计数

由于数字字符串中可能存在重复数字，直接计算会导致重复计数。解决方法是在最后的结果中除以每个重复数字出现次数的阶乘。例如，数字 $i$ 出现了 $cnt[i]$ 次，则最终答案为： $$ \frac{dp[full_mask][0]}{\prod_{i} cnt[i]!} $$ 其中 $full_mask$ 是所有数字都被使用的状态。

代码实现

以下是基于动态规划和状态压缩的代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        string s;
        int d;
        cin >> s >> d;
        int n = s.size();
        vector<vector<int>> dp(1 << n, vector<int>(d, 0));
        dp[0][0] = 1;
        
        for (int mask = 0; mask < (1 << n); ++mask) {
            for (int r = 0; r < d; ++r) {
                if (dp[mask][r] == 0) continue;
                for (int i = 0; i < n; ++i) {
                    if (!(mask & (1 << i))) {
                        int new_mask = mask | (1 << i);
                        int new_r = (r * 10 + (s[i] - '0')) % d;
                        dp[new_mask][new_r] += dp[mask][r];
                    }
                }
            }
        }
        
        // 处理重复数字
        vector<int> cnt(10, 0);
        for (char c : s) cnt[c - '0']++;
        int factorial = 1;
        for (int i = 0; i < 10; ++i) {
            for (int j = 1; j <= cnt[i]; ++j) {
                factorial *= j;
            }
        }
        cout << dp[(1 << n) - 1][0] / factorial << endl;
    }
    return 0;
}

优化与注意事项

预处理阶乘：可以预先计算阶乘值，避免重复计算。
状态初始化：确保初始状态 $dp[0][0] = 1$，其余状态初始化为 0。
位运算优化：使用位运算可以高效地枚举所有可能的数字使用状态。
模运算：在计算新余数时，及时取模以避免数值溢出。

复杂度分析

时间复杂度：$O(2^n \times d \times n)$，其中 $n$ 是数字字符串的长度，$d$ 是给定的除数。对于 $n \leq 10$，该复杂度是可接受的。
空间复杂度：$O(2^n \times d)$，用于存储动态规划的状态表。

总结

通过动态规划和状态压缩，可以高效地解决排列计数问题。关键在于合理设计状态转移方程，并正确处理重复数字的情况。

BbS.okapop174.sbs/PoSt/1122_314511.HtM
BbS.okapop175.sbs/PoSt/1122_145645.HtM
BbS.okapop176.sbs/PoSt/1122_632183.HtM
BbS.okapop177.sbs/PoSt/1122_545960.HtM
BbS.okapop178.sbs/PoSt/1122_900049.HtM
BbS.okapop179.sbs/PoSt/1122_543781.HtM
BbS.okapop180.sbs/PoSt/1122_968297.HtM
BbS.okapop181.sbs/PoSt/1122_178757.HtM
BbS.okapop182.sbs/PoSt/1122_841199.HtM
BbS.okapop183.sbs/PoSt/1122_177060.HtM
BbS.okapop174.sbs/PoSt/1122_850131.HtM
BbS.okapop175.sbs/PoSt/1122_017082.HtM
BbS.okapop176.sbs/PoSt/1122_449073.HtM
BbS.okapop177.sbs/PoSt/1122_991200.HtM
BbS.okapop178.sbs/PoSt/1122_837760.HtM
BbS.okapop179.sbs/PoSt/1122_605244.HtM
BbS.okapop180.sbs/PoSt/1122_624990.HtM
BbS.okapop181.sbs/PoSt/1122_748726.HtM
BbS.okapop182.sbs/PoSt/1122_065820.HtM
BbS.okapop183.sbs/PoSt/1122_683298.HtM
BbS.okapop174.sbs/PoSt/1122_326787.HtM
BbS.okapop175.sbs/PoSt/1122_596599.HtM
BbS.okapop176.sbs/PoSt/1122_929030.HtM
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BbS.okapop179.sbs/PoSt/1122_842007.HtM
BbS.okapop180.sbs/PoSt/1122_767815.HtM
BbS.okapop181.sbs/PoSt/1122_841182.HtM
BbS.okapop182.sbs/PoSt/1122_149505.HtM
BbS.okapop183.sbs/PoSt/1122_160978.HtM
BbS.okapop174.sbs/PoSt/1122_084779.HtM
BbS.okapop175.sbs/PoSt/1122_808305.HtM
BbS.okapop176.sbs/PoSt/1122_857261.HtM
BbS.okapop177.sbs/PoSt/1122_245762.HtM
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