Day44：线性回归详解与案例

在前一节中，我们介绍了监督学习和无监督学习的概念以及其特点，也用线性回归演示了监督学习的基本过程，现在我们详细来讲解一下线性回归的原理和应用。

1. 线性回归原理

线性回归是一种基本的统计学习方法，用于建立输入特征和输出标签之间的线性关系。它假设输入特征与输出标签之间存在一个线性的关系，通过最小化预测值与实际值之间的误差来拟合这个线性关系，构建这个误差的函数我们一般称之为目标函数（或者损失函数）。

数学建模过程如下：

• 假设我们有n个样本数据，每个样本包含一个m维的输入特征向量x和一个标签y。
• 我们的目标是找到一个m维的权重向量w和一个偏置值b，使得预测值y_hat可以通过线性组合计算得出，即y_hat = w^T * x + b，其中^T表示向量的转置。
• 我们定义损失函数（如均方误差）来衡量预测值和实际值之间的差距，并通过最小化损失函数来求解最优的权重向量w和偏置值b。

数据优化过程如下：

• 我们使用训练数据集进行模型训练，即通过最小化损失函数来调整权重向量w和偏置值b。
• 常见的优化算法包括梯度下降法（Gradient Descent）和正规方程（Normal Equation）。
• 在梯度下降法中，我们根据损失函数的梯度方向来更新权重向量w和偏置值b，直至达到最优解。
• 在正规方程中，我们通过求解损失函数的最小二乘解析解来得到最优的权重向量w和偏置值b。

2. 线性回归案例

下面是一个使用线性回归模型对房价进行预测的案例。我们将使用加利福尼亚房价数据集，该数据集是sklearn内置的数据集，包含了加利福尼亚地区的房屋信息和对应的房价。

首先，我们需要加载数据集并进行预处理，然后使用train_test_split()函数划分训练集和测试集，其中测试集占比为20%。

from sklearn.datasets import fetch_california_housing
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 加载数据集
california = fetch_california_housing()
X, y = california.data, california.target

# 数据预处理
scaler = StandardScaler()
X = scaler.fit_transform(X)

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

接下来，我们使用线性回归模型进行训练和预测，其中fit()方法已经包含了训练模型的过程。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean