DDPM公式草稿1

推导1

1−βt=αtxt=αtxt−1+1−αtztxt−1=αt−1xt−2+1−αt−1zt−1xt=αt(αt−1xt−2+1−αt−1zt−1)+1−αtzt=αtαt−1xt−2+αt−αtαt−1zt−1+1−αtzt∵zt−1∼N(0,I)zt∼N(0,I)∴αt−αtαt−1zt−1∼N(0,αt−αtαt−1)1−αtzt∼N(0,1−αt)(αt−αtαt−1zt−1+1−αtzt)∼N(0,1−αtαt−1)=αtαt−1xt−2+1−αtαt−1z,z∼N(0,I)xt=αt…α1x0+1−αt…α1z,z∼N(0,I)xt=αt‾x0+1−αt‾zαt‾=∏i=1Tαi\begin{aligned} 1-\beta_{t}=\alpha_t \quad \quad x_t&=\sqrt{\alpha_t}x_{t-1}+\sqrt{1-\alpha_t}z_t \\ x_{t-1}&=\sqrt{\alpha_{t-1}}x_{t-2}+\sqrt{1-\alpha_{t-1}}z_{t-1} \\ x_{t}&=\sqrt{\alpha_{t}}(\sqrt{\alpha_{t-1}}x_{t-2}+\sqrt{1-\alpha_{t-1}}z_{t-1})+\sqrt{1-\alpha_{t}}z_{t} \\ &=\sqrt{\alpha_t\alpha_{t-1}}x_{t-2}+\sqrt{\alpha_t-\alpha_t\alpha_{t-1}}z_{t-1}+\sqrt{1-\alpha_t}z_t \\ &\textcolor{red}{\because z_{t-1}\sim N(0,I) \quad z_t \sim N(0,I) }\\ &\textcolor{red}{\therefore \sqrt{\alpha_t-\alpha_t\alpha_{t-1}}z_{t-1} \sim N(0,\alpha_t-\alpha_t\alpha_{t-1}) \quad \sqrt{1-\alpha_t}z_t\sim N(0,1-\alpha_t) } \\ &\textcolor{red}{\quad (\sqrt{\alpha_t-\alpha_t\alpha_{t-1}}z_{t-1}+\sqrt{1-\alpha_t}z_t)\sim N(0,1-\alpha_t\alpha_{t-1})} \\ &=\sqrt{\alpha_t\alpha_{t-1}}x_{t-2}+\sqrt{1-\alpha_t\alpha_{t-1}}z,\quad z\sim N(0,I)\\ x_t&=\sqrt{\alpha_t\dots\alpha_1}x_0+\sqrt{1-\alpha_t\dots\alpha_1}z,\quad z\sim N(0,I)\\ x_t&=\sqrt{\overline{\alpha_t}}x_0+\sqrt{1-\overline{\alpha_t}}z \quad \quad \overline{\alpha_t}=\prod_{i = 1}^{T}\alpha_i \end{aligned}
x∼N(μ,σ2I)z∼N(0,I)x=μ+σz∼N(μ,σ2I)\begin{aligned} &\textcolor{red}{x\sim N(\mu,\sigma^2I)}\\ &\textcolor{red}{z\sim N(0,I)}\\ &\textcolor{red}{x=\mu+\sigma z\sim N(\mu,\sigma^2I)}\\ \end{aligned}
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