群论

群论的基本概念

群 G 是定义在一个二元组 (S,❈)的代数结构,S 代表一个集合,❈ 代表一种二元运算。
满足下列条件的二元组才可称为群:
封闭性:∀x,y ∈ S 图片说明 x ❈ y ∈ S
结合律:∀x,y,z ∈ S 图片说明 (x ❈ y) ❈ z = x ❈ (y ❈ z)
单位元:∃e ∈ S,∀x ∈ S 图片说明 e ❈ x = x ❈ e = x
逆元:∀x ∈ S,∃y ∈ S 图片说明 x ❈ y = y ❈ x = e,记 y = 图片说明

群的阶、元素的阶

群的阶:G 中所含元素的个数,称为群 G 的阶,记为 |G|,即 S 中所含元素的个数。若群 G 为无限群,则 |G| 为 +∞。
元素的阶:在群 G 中,a ∈ G。如果有整数 k,使图片说明 = e,那么使这个等式成立的最小正整数 k 叫做 a 的阶,记为 |a| = k。若这个 k 不存在,则 |a| 为 +∞

消去律

群中消去律的定义:∀x,y,a ∈ S,x = y 图片说明 x ❈ a = y ❈ a
当 S 为有限集,在满足封闭性、结合律、单位元的二元组(S,❈)里:逆元 图片说明 消去律。
逆元 图片说明 消去律,证明:等式 x ❈ a = y ❈ a 两边分别乘以 图片说明 可证消去律存在。
逆元 图片说明 消去律,证明:对于 ∀a ∈ S,建立一个新二元组( S′ = {a ❈ x | x ∈ S},❈ ),因为存在消去律,所以 S′ = S 即 ∃x ∈ S 使得 a ❈ x = e,可证逆元存在。

置换群

n 个元素之间的置换为
图片说明

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