群论的基本概念

群 G 是定义在一个二元组 （S，❈）的代数结构，S 代表一个集合，❈ 代表一种二元运算。
满足下列条件的二元组才可称为群：
封闭性：∀x,y ∈ S x ❈ y ∈ S
结合律：∀x,y,z ∈ S (x ❈ y) ❈ z = x ❈ (y ❈ z)
单位元：∃e ∈ S，∀x ∈ S e ❈ x = x ❈ e = x
逆元：∀x ∈ S，∃y ∈ S x ❈ y = y ❈ x = e，记 y =

群的阶、元素的阶

群的阶：G 中所含元素的个数，称为群 G 的阶，记为 |G|，即 S 中所含元素的个数。若群 G 为无限群，则 |G| 为 +∞。
元素的阶：在群 G 中，a ∈ G。如果有整数 k，使 = e，那么使这个等式成立的最小正整数 k 叫做 a 的阶，记为 |a| = k。若这个 k 不存在，则 |a| 为 +∞

消去律

群中消去律的定义：∀x,y,a ∈ S，x = y x ❈ a = y ❈ a
当 S 为有限集，在满足封闭性、结合律、单位元的二元组（S，❈）里：逆元 消去律。
逆元 消去律，证明：等式 x ❈ a = y ❈ a 两边分别乘以 可证消去律存在。
逆元 消去律，证明：对于 ∀a ∈ S，建立一个新二元组( S′ = {a ❈ x | x ∈ S}，❈ )，因为存在消去律，所以 S′ = S 即 ∃x ∈ S 使得 a ❈ x = e，可证逆元存在。

置换群

n 个元素之间的置换为