蒙提霍尔悖论

2020-4-30

蒙提霍尔问题又被称为三门问题，出自美国著名的电视游戏节目《Let's Make a Deal》。问题名字来自该节目的主持人蒙提霍尔。

题目是这样的：
参赛者会看见三扇关闭的门，其中一扇门的后面有一辆汽车，另外两扇门后面则各藏有一头猪，选中后面有车的那扇门可以赢得这辆汽车。

主持人会先让参赛者选一扇门，当参赛者选定了一扇门的时候，主持人开启另外两扇门中其中一扇后面为猪的门。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

如果换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的几率？不换门和换门获得汽车奖品的概率分别是多少？

首先如果参赛者不换门获奖的概率很简单，参赛者在三扇门中选择奖品为车的那扇门的概率为三分之一，之后主持人做的事情对参赛者的选择不构成任何影响，所以如果不换门，那么参赛者获奖的概率就是三分之一。

那么如果参赛者选择换门，获奖的概率是多少呢？

方法一：遍历法

最简单的方法就是遍历所有的可能性：

参赛者第一次选择门A，换门，赢得小汽车
参赛者第一次选择门B，换门，成功抱走小猪猪 ^{(*￣(oo)￣)}
参赛者第一次选择门C，换门，赢得小汽车

总共就三种情况，所以如果参赛者选择换门，那么获奖的概率为三分之二

方法二：叶贝斯公式

公式中，事件Bi的概率为P(Bi)，事件Bi已发生条件下事件A的概率为P(A│Bi)，事件A发生条件下事件Bi的概率为P(Bi│A)。
在这里引用知乎上李白1203 的答案：

测试验证

作为一名程序员，自然要模拟下场景进行验证了，测试代码如下：

/**
 * 蒙提霍尔问题
 */
public class MontyHallProblem {
    // 随机生成车的位置
    private static int randomGenerateCarIndex(){
        return (int)(Math.random() * 3);
    }

    // 生成测试样本;
    private static int[] generateSample(){
        int[] sample = new int[4];
        int carIndex = randomGenerateCarIndex();
        sample[carIndex] = 1;
        sample[3] = carIndex;
        return sample;
    }

    // 参赛者随机选择一扇门
    private static int randomSelectADoor(){
        return (int)(Math.random() * 3);
    }

    // 判断第一次选择是否中奖
    private static boolean firstIsCar(){
        return randomSelectADoor() == generateSample()[3];
    }

    // 模拟参赛者更换门
    public static boolean isCar(){
        // 如果参赛者第一次选中了车，那么选择更换就一定选不到车了
        if(firstIsCar()){
            return false;
        }else{
            return true;
        }
    }

    public static void main(String[] args){

        int totalTestTimes = 1000000; // 100万的测试样本量
        int pickCarTimes = 0;
        for(int i = 0;i < totalTestTimes;i++){
            if(isCar()){
                pickCarTimes++;
            }
        }
        System.out.println((double)pickCarTimes/totalTestTimes);
    }
}

我选择了100万的随机测试样本进行测试，三次执行，得到的概率分别为：