279.完全平方数

题目描述

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3
解释: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

解决方案

思路一

是考察四平方和定理，to be honest, 这是我第一次听说这个定理，天啦撸，我的数学是语文老师教的么?! 闲话不多扯，回来做题。先来看第一种很高效的方法，根据四平方和定理，任意一个正整数均可表示为4个整数的平方和，其实是可以表示为4个以内的平方数之和，那么就是说返回结果只有1,2,3或4其中的一个，首先我们将数字化简一下，由于一个数如果含有因子4，那么我们可以把4都去掉，并不影响结果，比如2和8,3和12等等，返回的结果都相同，读者可自行举更多的栗子。还有一个可以化简的地方就是，如果一个数除以8余7的话，那么肯定是由4个完全平方数组成，这里就不证明了，因为我也不会证明，读者可自行举例验证。那么做完两步后，一个很大的数有可能就会变得很小了，大大减少了运算时间，下面我们就来尝试的将其拆为两个平方数之和，如果拆成功了那么就会返回1或2，因为其中一个平方数可能为0. (注：由于输入的n是正整数，所以不存在两个平方数均为0的情况)。注意下面的!!a + !!b这个表达式，可能很多人不太理解这个的意思，其实很简单，感叹号!表示逻辑取反，那么一个正整数逻辑取反为0，再取反为1，所以用两个感叹号!!的作用就是看a和b是否为正整数，都为正整数的话返回2，只有一个是正整数的话返回1，参见代码如下：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        while(n%4==0) n /=4;
        if(n%8  ==7) return 4;
        for(int i=0;i*i<n;++i)
        {
            int j = sqrt(n-i*i);
            if(i*i + j*j == n)
                return !!i+!!j;
        }
        return 3;
    }
};

动态规划思路二

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n+1,INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for(int i=0;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;i+j*j<=n;++j)
            {
                dp[i+j*j] = min(dp[i+j*j],dp[i]+1);
            }
        }
        return dp.back();
    }
};

递归解法

这样写的好处是简洁，但是效率不敢恭维。我们的目的是遍历所有比n小的完全平方数，然后对n与完全平方数的差值递归调用函数，目的是不断的更新最终结果，直到找到最小的那个，代码如下：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        int res = n, num = 2;
        while(num*num <= n)
        {
            int a =n/(num*num),b = n%(num*num);
            res = min(res,a+numSquares(b));
            ++num;
        }
        return res;
    }
};