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02-05 13:44

清华大学 Java

题解|使用Jacobi方法求解线性方程组

Jacobi方法是一种迭代求解线性方程组的方法。对于线性方程组 Ax = b，其迭代步骤如下： 1. 将矩阵A分解  将矩阵A分解为对角矩阵D和非对角矩阵N：A = D + N 其中D为对角矩阵，N为非对角矩阵  2. 迭代公式 对于每个方程i，在第k+1次迭代时：  其中：   是矩阵A的第i个对角元素  是向量b的第i个元素  是矩阵A的第i行第j列元素  是第k次迭代时x的第j个分量  标准代码如下 def solve_jacobi(A, b, n) : d_a = np.diag(A) nda = A - np.diag(d_a) x = np.zeros(len(b)) x_hold...

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02-05 13:42

清华大学 Java

题解|计算矩阵的积

矩阵的积是指两个矩阵相乘的结果，数学表达式为：  其中， 和  为原矩阵， 为结果矩阵。 其中， 可以注意到的是，矩阵的积只有在第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才有意义。 标准代码如下 def matrixmul(a,b): if len(a[0]) != len(b): return -1 vals = [] for i in range(len(a)): hold = [] for j in range(len(b[0])): val = 0 for k in range(len(b)): val += a[i][k] * b[k][j] hold.append(val) vals....

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02-05 13:41

清华大学 Java

题解|计算矩阵的逆

矩阵的逆是指矩阵在某种运算下的逆元，数学表达式为：  其中， 为原矩阵， 为逆矩阵， 为单位矩阵。 在数学上，求逆矩阵的方式有很多种，这些方法也可以判断矩阵是否可逆。由于本题明确输入是2*2的矩阵，所以可以使用行列式来判断矩阵是否可逆。 标准代码如下 def inverse_2x2(matrix) : # 补全代码 a, b, c, d = matrix[0][0], matrix[0][1], matrix[1][0], matrix[1][1] determinant = a * d - b * c if determinant == 0: return None inverse = [[...

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02-05 13:40

清华大学 Java

题解|矩阵变换

矩阵变换是一种将矩阵进行变换的方法，其计算公式为：  其中， 是输入矩阵， 和  是变换矩阵，并且和皆为逆矩阵。 标准代码如下 def transform_matrix(A,T,S): A = np.array(A, dtype=float) T = np.array(T, dtype=float) S = np.array(S, dtype=float) if np.linalg.det(T) == 0 or np.linalg.det(S) == 0: return -1 T_inv = np.linalg.inv(T) transformed_matrix = np.round(T_in...

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02-05 13:38

清华大学 Java

题解|计算矩阵的特征值

矩阵的特征值是指矩阵在某个方向上的拉伸倍数，数学表达式为：  其中， 为原矩阵， 为特征向量， 为特征值。 在数学上，通常求解特征方程来求解特征值：  但是，由于题目明确输入是2*2的矩阵，所以可以利用公式：  标准代码如下 def calculate_eigenvalues(matrix: List[List[Union[int, float]]]) -> List[float]: a, b, c, d = matrix[0][0], matrix[0][1], matrix[1][0], matrix[1][1] trace = a + d determinant = a * d -...

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02-07 15:43

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题解|多项式特征的Phi变换

Phi变换是一种将输入数据转换为多项式特征的方法，它通过将输入数据中的每个元素进行幂运算，来生成多项式特征。其具体步骤如下： 1. 初始化Phi矩阵  创建一个与输入矩阵  相关的矩阵 。 数学表达式为：   该公式的思想的另外一个常见应用场景是二次型，即：  其中， 是一个对称矩阵。 2. 返回Phi矩阵  将计算得到的Phi矩阵返回。  标准代码如下 def phi_transform(data: list[float], degree: int) -> list[list[float]]: if degree < 0 or not data: return [] return...

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02-05 13:33

清华大学 Java

题解|点积计算器

点积是一种将两个向量相乘的方法，它通过将两个向量中的每个元素进行相乘，来得到一个新的向量。其数学表达式为：  其中， 和  是两个向量， 是向量的长度。 标准代码如下 def calculate_dot_product(vec1, vec2): return np.dot(vec1, vec2)  这里直接采用numpy库中的dot方法来计算点积，来简化计算。

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02-05 12:59

清华大学 Java

题解|泊松分布概率计算器

泊松分布是一种描述随机事件发生次数的概率分布，其计算公式为：  其中， 是泊松分布的参数， 是随机事件发生的次数。 标准代码如下 def poisson_probability(k, lam): probability = (lam ** k) * math.exp(-lam) / math.factorial(k) return round(probability, 5)  同样的，在scipy库中也有对应的泊松分布概率计算方法，这里给出一种实现方式 def poisson_probability(k, lam): from scipy.stats import poisson probab...

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02-05 12:58

清华大学 Java

题解|描述性统计计算器

描述性统计是一种描述数据集特征的方法，通过若干类数据统计值来进行统计。本题具体使用的统计值如下   平均值（mean）    中位数（median） 将数据从小到大排序后：    众数（mode） 出现次数最多的数值：  其中  为  出现的频率   方差（variance）    标准差（standard_deviation）    25th百分位数（25th_percentile）  25%百分位数是数据从小到大排序后，第25%个数据，剩下的百分位数同理。   50th百分位数（50th_percentile）    75th百分位数（75th_percentile）    四分位距（in...

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02-05 12:55

清华大学 Java

题解|计算向量之间的余弦相似度

余弦相似度是一种衡量两个向量之间相似度的方法，其计算公式为：  其中， 和  是两个向量， 和  是向量  和  的模。本式子其实大家十分熟悉，在高中数学中就已经接触过。是用来计算两个向量之间的夹角的余弦值。 标准代码如下 def cosine_similarity(v1, v2): if v1.shape != v2.shape: raise ValueError("Arrays must have the same shape") if v1.size == 0: raise ValueError("Arrays cannot be empty") v1_flat = v1.flatten...

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02-05 12:54

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题解|实现压缩列稀疏矩阵

压缩列稀疏矩阵是一种特殊的矩阵，其特点是矩阵中大部分元素为0。 在本题中，提到的CCS格式是一种压缩列稀疏矩阵的存储格式，其特点是只存储非零元素的值、行号和列指针。若学过数据结构，可以知道这是一种三元组表示法。 标准代码如下 def compressed_col_sparse_matrix(dense_matrix): vals = [] row_idx = [] col_ptr = [0] rows, cols = len(dense_matrix), len(dense_matrix[0]) for i in range(cols): for j in range(rows): val =...

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02-05 12:54

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题解|实现向量到直线的正交投影

向量到直线的正交投影是一种将向量投影到直线上的方法，其计算公式为：  其中， 是直线的方向向量， 是向量。 标准代码如下 def dot(v1, v2): return sum([ax1 * ax2 for ax1, ax2 in zip(v1, v2)]) def scalar_mult(scalar, v): return [scalar * ax for ax in v] def orthogonal_projection(v, L): L_mag_sq = dot(L, L) proj_scalar = dot(v, L) / L_mag_sq proj_v = scalar_mult...

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02-05 12:53

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题解|实现压缩行稀疏矩阵格式转换

压缩行稀疏矩阵（CSR）格式是一种特殊的矩阵存储格式，其特点是只存储非零元素的值、行号和列指针。本质上是一种三元组表示法。 标准代码如下 def compressed_row_sparse_matrix(dense_matrix): vals = [] col_idx = [] row_ptr = [0] for row in dense_matrix: for j, val in enumerate(row): if val != 0: vals.append(val) col_idx.append(j) row_ptr.append(len(vals)) return vals, col_...

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02-07 16:23

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题解|将向量转换为对角矩阵

将向量转换为对角矩阵（Diagonal Matrix）是一种常用的矩阵，其计算公式为：  其中，是向量。 通俗的说，就是将向量中的每个元素作为对角矩阵的对角线上的元素。 标准代码如下 def make_diagonal(x): identity_matrix = np.identity(np.size(x)) return (identity_matrix*x)

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02-05 12:46

清华大学 Java

题解|基向量变换矩阵

基向量变换矩阵（Basis Vector Transformation Matrix）是一种常用的矩阵，用于将基向量变换为另一个基向量。 从矩阵A到矩阵B的基向量变换矩阵P，满足。 本质上就是对A的列向量进行线性变换，使得A的列向量变为B的列向量。 标准代码如下 def transform_basis(B, C): C = np.array(C) B = np.array(B) C_inv = np.linalg.inv(C) P = np.dot(C_inv, B) return P.tolist()

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