线性回归是一类回归问题，其目标是通过找到一组参数，使得输入数据和输出数据之间的线性关系尽可能地接近。其数学表达式为：  其中， 是输入矩阵， 是回归系数， 是输出矩阵。 而正规方程是一种求解线性回归问题的方法，它通过求解矩阵的逆来得到回归系数。其具体步骤如下： 1. 初始化矩阵  创建一个与输入矩阵  和输出矩阵  相关的矩阵 。 数学表达式为：   2. 求解回归系数  通过求解矩阵  的逆来得到回归系数。 数学表达式为：   3. 返回回归系数  将计算得到的回归系数返回。  标准代码如下 def linear_regression_normal_equation(X: list[list...

共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法。具体步骤如下：  计算初始残差向量   计算初始搜索方向向量   迭代更新和和，直到满足收敛条件       共轭梯度法的关键在于使用正交搜索方向，确保每次迭代都能获得更多的信息，而不需要重复搜索。个中原理可以参考相关资料。 标准代码如下 import numpy as np def conjugate_gradient(A: np.array, b: np.array, n: int, x0: np.array=None, tol=1e-8) -> np.array: # calculate initial residual vector x ...

2x2矩阵的奇异值分解（SVD）是一种常用的矩阵分解方法，用于将矩阵分解为两个正交矩阵和一个对角矩阵。 本题使用了一种几何方法，但基础原理是Jacobi方法，具体公式如下： 设矩阵A为：  Jacobi方法的步骤如下：  计算矩阵A的特征值和特征向量。 通过旋转矩阵将A对角化，得到奇异值。 最终的分解形式为：   其中，和为正交矩阵，为对角矩阵，包含奇异值。 而本题利用几何方法简化了旋转矩阵的计算，具体公式如下：   标准代码如下 def svd_2x2(A: np.ndarray) -> tuple: y1, x1 = (A[1, 0] + A[0, 1]), (A[0, 0] - A...

拉普拉斯展开式是一种计算行列式的方法，它通过选择矩阵的某一行或某一列，然后计算该行或该列的元素与它们对应的代数余子式的乘积之和。 其数学表达式为（按行展开）：  其中， 为原矩阵， 为矩阵  的第  行第  列的元素， 为将矩阵  的第  行和第  列去掉后得到的子矩阵。 标准代码如下 def determinant_4x4(matrix) : if len(matrix) == 1: return matrix[0][0] det = 0 for c in range(len(matrix)): minor = [row[:c] + row[c+1:] for row in matrix[1...

奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的方法，它通过将矩阵分解为三个矩阵，来得到矩阵的奇异值和奇异向量。其数学表达式为：  其中， 是输入矩阵， 是左奇异向量， 是奇异值， 是右奇异向量。 通过的维度选择，可以实现矩阵的降维。 Jacobi方法是一种计算奇异值分解的方法，常用于小矩阵，其具体步骤如下： 1. 初始化矩阵  创建一个与输入矩阵  相关的矩阵  和 。 数学表达式为：    2. 计算旋转角度  计算旋转角度 。 数学表达式为：  更一般地说，Jacobi方法的计算公式为：   3. 计算旋转矩阵  计算旋转矩阵 。 数学表达式为：   4. 计算旋转后的矩阵  计算旋转后的矩阵 。...

正态分布是一种描述随机变量分布的概率分布，其计算公式为：  其中， 是正态分布的均值， 是正态分布的标准差。 PDF是概率密度函数，用于描述随机变量在某个特定值处的概率密度。 标准代码如下 def normal_pdf(x, mean, std_dev): coefficient = 1 / (math.sqrt(2 * math.pi) * std_dev) exponent = math.exp(-((x - mean) ** 2) / (2 * std_dev ** 2)) return round(coefficient * exponent, 5)  同样的，在scipy库中也有对应...

二项分布是一种描述随机事件发生次数的概率分布，其计算公式为：  其中， 是试验次数， 是随机事件发生的次数， 是随机事件发生的概率。 标准代码如下 def binomial_probability(n, k, p): binomial_coeff = math.comb(n, k) probability = binomial_coeff * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k)) return round(probability, 5)

复合超向量是一种将多个向量组合成一个向量的方法，其计算公式为：  其中， 是权重， 是向量。 在本题中，这是一个使用超维计算（HDC）的任务，需要通过以下步骤处理数据：  为每个特征创建两个基本超向量：   一个表示特征名称 一个表示特征值 在创建过程中，需要使用随机种子来确保每次运行代码时生成的超向量是相同的。   使用绑定操作（bind）组合特征名称和值的超向量 本题使用了点积操作来实现绑定操作，即：   实际上，在绑定操作中，更常使用的是异或操作，具体实现方式交由读者自行探索。 3. 使用捆绑操作（bundle）将所有特征的超向量组合成一个复合超向量 本题的捆绑操作使用了求和操作，即： ...

行阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵，其特点是每一行的非零元素都出现在前一行的非零元素的右侧。 而像则是指矩阵的列空间，即矩阵的列向量所张成的空间。本题则是要求出矩阵的列空间。 标准代码如下 def rref(A): # Convert to float for division operations A = A.astype(np.float32) n, m = A.shape for i in range(n): if A[i, i] == 0: nonzero_current_row = np.nonzero(A[i:, i])[0] + i if len(nonzero_current_row...

高斯消元法是一种求解线性方程组的方法，其基本思想是通过消元法将方程组化为上三角矩阵，然后通过回代法求解。 具体步骤如下：  选择主元（部分主元法）  在每一列中选择当前及以下行中绝对值最大的元素作为主元 将包含主元的行与当前行交换位置   消元过程  将当前行以下的所有行进行消元运算 使用公式：当前行 = 当前行 - (消元系数 × 主元所在行) 消元系数 = 待消元元素 / 主元   回代求解  从最后一个方程开始，依次求解每个未知数    标准代码如下 def partial_pivoting(A_aug, row_num, col_num): rows, cols = A_aug.sha...

Gauss-Seidel法是一种求解线性方程组的方法，其基本思想是通过迭代法求解。 具体步骤如下：  初始化  选择初始解向量 选择迭代步数   迭代过程  对于第i个方程，使用公式：  其中：  是矩阵A中第i行第j列的元素  是向量b中第i个元素  是第k次迭代时的解向量中第j个元素   迭代终止条件  当与的差值小于给定阈值时，迭代终止 本题中使用迭代次数代替阈值成为终止条件    标准代码如下 def gauss_seidel_it(A, b, x): rows, cols = A.shape for i in range(rows): x_new = b[i] for j in ra...

二维平移矩阵是一种将二维空间中的点进行平移的矩阵，其计算公式为：  其中，和分别是平移的x和y方向的距离。 然后将二维点与平移矩阵相乘，得到平移后的点。 标准代码如下 def translate_object(points, tx, ty): translation_matrix = np.array([ [1, 0, tx], [0, 1, ty], [0, 0, 1] ]) homogeneous_points = np.hstack([np.array(points), np.ones((len(points), 1))]) translated_points = np.dot(homo...

简化行阶梯形（RREF）是一种将矩阵化为行阶梯形矩阵的算法，其计算步骤如下：  将矩阵的第一个非零元素作为主元，将主元所在的行作为主行，将主元所在的列作为主列。 将主行乘以一个常数，使得主元为1。 将主行乘以一个常数，使得主行中除了主元以外的元素都为0。 将主行乘以一个常数，使得主行中除了主元以外的元素都为0。 将主行乘以一个常数，使得主行中除了主元以外的元素都为0。  标准代码如下 def rref(matrix): # Convert to float for division operations A = matrix.astype(np.float32) n, m = A.shape ...

相关矩阵（Correlation Matrix）是一种常用的矩阵，其计算公式为：  其中，和是两个向量。 标准代码如下 def calculate_correlation_matrix(X, Y=None): # Helper function to calculate standard deviation def calculate_std_dev(A): return np.sqrt(np.mean((A - A.mean(0))**2, axis=0)) if Y is None: Y = X n_samples = np.shape(X)[0] # Calculate the cova...