向量到直线的正交投影是一种将向量投影到直线上的方法，其计算公式为：  其中， 是直线的方向向量， 是向量。 标准代码如下 def dot(v1, v2): return sum([ax1 * ax2 for ax1, ax2 in zip(v1, v2)]) def scalar_mult(scalar, v): return [scalar * ax for ax in v] def orthogonal_projection(v, L): L_mag_sq = dot(L, L) proj_scalar = dot(v, L) / L_mag_sq proj_v = scalar_mult...

压缩行稀疏矩阵（CSR）格式是一种特殊的矩阵存储格式，其特点是只存储非零元素的值、行号和列指针。本质上是一种三元组表示法。 标准代码如下 def compressed_row_sparse_matrix(dense_matrix): vals = [] col_idx = [] row_ptr = [0] for row in dense_matrix: for j, val in enumerate(row): if val != 0: vals.append(val) col_idx.append(j) row_ptr.append(len(vals)) return vals, col_...

将向量转换为对角矩阵（Diagonal Matrix）是一种常用的矩阵，其计算公式为：  其中，是向量。 通俗的说，就是将向量中的每个元素作为对角矩阵的对角线上的元素。 标准代码如下 def make_diagonal(x): identity_matrix = np.identity(np.size(x)) return (identity_matrix*x)

基向量变换矩阵（Basis Vector Transformation Matrix）是一种常用的矩阵，用于将基向量变换为另一个基向量。 从矩阵A到矩阵B的基向量变换矩阵P，满足。 本质上就是对A的列向量进行线性变换，使得A的列向量变为B的列向量。 标准代码如下 def transform_basis(B, C): C = np.array(C) B = np.array(B) C_inv = np.linalg.inv(C) P = np.dot(C_inv, B) return P.tolist()

协方差矩阵是一种描述两个随机变量之间关系的矩阵，其计算公式为：  其中， 和  是两个随机变量， 和  是  和  的均值。 标准代码如下 def calculate_covariance_matrix(vectors): n_features = len(vectors) n_observations = len(vectors[0]) covariance_matrix = [[0 for _ in range(n_features)] for _ in range(n_features)] means = [sum(feature) / n_observations for featur...

标量乘以矩阵，就是将矩阵中的每一个元素都乘以该标量。 数学表达式为：  其中， 为结果矩阵， 为标量， 为原矩阵。具体计算为：  标准代码如下，要学会善用列表推导式简化代码编写 def scalar_multiply(matrix: List[List[Union[int, float]]], scalar: Union[int, float]) -> List[List[Union[int, float]]]: return [[element * scalar for element in row] for row in matrix]  除此之外，也可以使用python的广播机制进...

所谓按行或列计算平均值，就是计算矩阵中每一行或每一列的平均值。 即  标准代码如下 def calculate_matrix_mean(matrix: List[List[Union[int, float]]], mode: str) -> List[float]: if mode == 'column': return [sum(col) / len(matrix) for col in zip(*matrix)] elif mode == 'row': return [sum(row) / len(row) for row in matrix] else: raise ValueEr...

矩阵重塑是将一个矩阵转换为另一个形状的过程，前提是新形状的元素总数与原矩阵相同。数学表达式为： 如果原矩阵 A 的形状为 (m, n)，则重塑后的矩阵 B 的形状为 (p, q)，需要满足：  重塑操作可以通过以下代码实现： def reshape_matrix(a: List[List[Union[int, float]]], new_shape: Tuple[int, int]) -> List[List[Union[int, float]]]: flat_list = [item for sublist in a for item in sublist] # 将矩阵展平 p, q ...

对于给定的矩阵 A，其转置矩阵表示为 A^T。数学表达式为：  其中， 是转置矩阵 A^T 的第 i 行第 j 列元素， 是原矩阵 A 的第 j 行第 i 列元素。标准代码如下： def transpose_matrix(a: List[List[Union[int, float]]]) -> List[List[Union[int, float]]]: return [list(i) for i in zip(*a)]  当然也可以使用numpy库的.T方法简化计算 def transpose_matrix(a: List[List[Union[int, float]]]) ->...

对于维度为n*m的矩阵A和一个k维向量x相乘时,会出现如下情况： 如果m=k,返回A和x的点积: ; 如果m≠k,返回-1，表示无法相乘 def matrix_vector_dot_product(a, b): # 如果矩阵A的列数不等于向量b的长度，则返回-1 if len(a[0]) != len(b): return -1 vals = [] for i in a: hold = 0 for j in range(len(i)): hold+=(i[j] * b[j]) vals.append(hold) return vals  可以使用numpy库中的dot函数来计算矩阵和向量的点积...

题目的主要信息：  按照顺序从1输出到最大的十进制nnn位数  举一反三： 学习完本题的思路你可以解决如下题目： JZ66. 构建乘积数组 JZ44. 数字序列中某一位的数字 方法：数组输出（推荐使用） 思路： 既然是从1开始顺序输出到nnn位数的最大值，一般来说nnn位数最大就是nnn个9，这样不方便于计算，可以直接遍历到n+1n+1n+1位的最小值结束，即10n10^n10n。 具体做法：  step 1：从1开始连乘10或者直接用次方计算10n10^n10n。 step 2：从1遍历到10n−110^n-110n−1，将所有数字顺序加入数组。  图示：  Java实现代码： import...

题目的主要信息：  把一根长度为nnn的绳子分成mmm段，每段长度都是整数 求每段长度乘积的最大值 由于答案过大，请对 998244353 取模  举一反三： 学习完本题的思路你可以解决如下题目： JZ14. 剪绳子 方法：快速幂+快速乘法(推荐使用) 知识点1：贪心思想 贪心思想属于动态规划思想中的一种，其基本原理是找出整体当中给的每个局部子结构的最优解，并且最终将所有的这些局部最优解结合起来形成整体上的一个最优解。 知识点2：分治： 分治即“分而治之”，“分”指的是将一个大而复杂的问题划分成多个性质相同但是规模更小的子问题，子问题继续按照这样划分，直到问题可以被轻易解决；“治”指的是将子问...

题目的主要信息：  输入一个长度为nnn的数组，经过调整使所有的奇数在前半部分，所有的偶数在后半部分 奇数与奇数之间、偶数与偶数之间的相对位置关系不固定  举一反三：** 学习完本题的思路你可以解决如下题目： JZ21. 调整数组顺序使奇数位于偶数前面(一) JZ22. 链表中倒数最后k个结点 JZ25. 合并两个排序的链表 方法一：双指针复制法（推荐使用） 知识点：双指针 双指针指的是在遍历对象的过程中，不是普通的使用单个指针进行访问，而是使用两个指针（特殊情况甚至可以多个），两个指针或是同方向访问两个链表、或是同方向访问一个链表（快慢指针）、或是相反方向扫描（对撞指针），从而达到我们需要的...

题目的主要信息：  把只包含质因子2、3和5的数称作丑数 求按从小到大的顺序的第n个丑数 1视作第一个丑数  方法一：最小堆（推荐使用） 知识点1：优先队列 优先队列即PriorityQueue，是一种内置的机遇堆排序的容器，分为大顶堆与小顶堆，大顶堆的堆顶为最大元素，其余更小的元素在堆下方，小顶堆与其刚好相反。且因为容器内部的次序基于堆排序，因此每次插入元素时间复杂度都是O(log2n)O(log_2n)O(log2​n)，而每次取出堆顶元素都是直接取出。 知识点2：哈希表 哈希表是一种根据关键码（key）直接访问值（value）的一种数据结构。而这种直接访问意味着只要知道key就能在O(1...