概率题 更新情况 20200406: 55-57 20200405: 47-54 20200404：9，45-46 基础公式 组合数 推导： 理解为组合数=不含某个元素的组合+含某个元素的组合 组合数求和公式 组合数相关 杨辉三角：对称，每个数等于它上方两数之和 参考 排列组合的一些公式推导 1 从一副52张扑克牌中随机抽两张，颜色相等的概率 解析：有红黑两种颜色，各26张 2 54张牌，分成6份，每份9张牌，大小王在一起的概率 3 52张牌去掉大小王，分成26*2两堆，从其中一堆取4张牌为4个a的概率 4 一个硬币抛了10次，8次为正，2次为反，求第11次抛硬币为正的概率。假设硬币为正面的概率为p, 极大似然估计求解 对数求导得到 贝叶斯估计求解 定义下一次抛硬币为事件Y,D为之前10次事件的集合，假设一次硬币为正面的概率u服从均匀分布uniform(0,1), 代入可以算出最终的结果是 最大后验估计求解 在先验概率分布为均匀分布的情况下，最大后验估计退化为极大似然估计。 参考 https://blog.csdn.net/algorithmPro/article/details/83869188  https://zhuanlan.zhihu.com/p/61593112 5 有8个箱子，现在有一封信，这封信放在这8个箱子中（任意一个）的概率为4/5,不放的概率为1/5（比如忘记了）,现在我打开1号箱子发现是空的，求下面7个箱子中含有这封信的概率为？   问题转化：    6 已知N枚真硬币，M枚假硬币（两面都是国徽），R次重复采样都是国徽，问R次采样都是真硬币的概率？   问题转化：   根据采样的独立性， 根据贝叶斯公式得到 7 一对夫妻有2个孩子，求一个孩子是女孩的情况下，另一个孩子也是女孩的概率问题转化：   贝叶斯公式可得，1/3 8 某城市发生了一起汽车撞人逃跑事件，该城市只有两种颜色的车，蓝20%绿80%，事发时现场有一个目击者，他指证是蓝车，但是根据专家在现场分析，当时那种条件能看正确的可能性是80%，那么，肇事的车是蓝车的概率是多少？   问题转化： 贝叶斯公式，得到1/2 9 100人坐飞机，第一个乘客在座位中随便选一个坐下，第100人正确坐到自己坐位的概率是？他们分别拿到了从1号到100号的座位，这些乘客会按号码顺序登机并应当对号入座，如果他们发现对应号座位被别人坐了，就会在剩下空的座位随便挑一个坐．现在假设1号乘客疯了（其他人没疯），他会在100个座位中随便选一个座位坐下，问：第100人正确坐到自己坐位的概率是多少？（也可推广到n名乘客n个座位的情况） 假设n个乘客的时候最后一个人坐到自己座位的概率是f(n)先分析一下第一个乘客随便坐的情况： 坐到自己的座位 1/n 坐到最后一个人的座位 1/n 其他人，假设坐了第m个人的位置(1<m<n),那么前面m-1个人会正确坐到自己的位置，第m个人要乱坐，此时最后一个人坐到自己座位的概率为f(n-m+1)因此， 由数学归纳法可得 答案来源 10 一个国家重男轻女，只要生了女孩就继续生，直到生出男孩为止，问这个国家的男女比例？问题转化：    所以是1比1 11 有50个红球，50个蓝球，如何放入两个盒子中使得拿到红球的概率最大 两个箱子概率是1/2，选中某个箱子后又有选择的是不是红球的概率，所以最大概率就是一个红球放在一个箱子里，其余的99个球全放到另一个箱子。这样概率=0.5+0.5*（49/99）约等于0.75，这样为最大概率。 答案来源 12 某个函数f返回值为0/1，0返回的概率为p，写一函数返回0/1概率相等。 public int g(){        while (true){            int a = f();            int b = f();            if(a!=b){                return a;            }         }    } 答案来源 拒绝采样的题，采样率是2p(1-p) 13 给你一个函数，这个函数是能得出1-5之间的随机数的，概率相同。现在求1-7之间随机函数 def random7():    x,y=random5()-1,random5()    idx = x*5+y    if idx>21:        return random7()    return (idx-1)%7+1 拒绝采样，采样率为21/25 14 X是一个以p的概率产生1,1-p的概率产生0的随机变量，利用X等概率生成1-n的数 思路：构造等概率生成0，1的函数，调用该函数ceil（log2（n））次，组成一个二进制的数，如果大于等于n，重新生。 def random01():    x,y = random(),random()    if x!=y:        return x    return random01()def randomN(n):    from math import log,ceil    times = ceil(log(n,2))    res = ''    for _ in range(times):        res+=str(random01())    res = int(res,2)    if res>=n:        return randomN(n)    return res+1 15 一个硬币，如何构建事件，使得事件发生的概率为2/3 拒绝采样，抛两次硬币，如果两次都是反面的话重新抛，一正一反的概率为2/3 答案来源 16 怎么计算圆周率π的值(蒙特卡洛采样)   在一个边长为2的正方形内均匀地随机投点，假设投n次，计算落到该正方形的内切圆里面的数量，假设为m，那么经过计算 17 一个抽奖池，里面有12种卡牌，如何实现一个1/78,...,12/18的抽奖概率。 randint可以生成0-77概率均匀的随机整数，0映射1，1/2映射2... 18 给一个概率分布均匀的随机数发生器，给一串float型的数，希望通过这个随机数发生器实现对这串数进行随机采样，要求是如果其中的某个数值越大，那么它被采样到的概率也越大。 先对他们的概率进行设计，先sigmoid再归一化。根据概率划分区间。 19 一本无数个字的书从前往后读，某个时间点突然暂停并返回之前读过的某个字，要求每个字返回的概率是一样的。 1 字都相同2 字都不同 20 一个有n*n个方格的棋盘，在里面放m个地雷，如何放保证在每个方格上放雷的概率相等。 需要一个生成1-n的随机数生成器，然后每次调用两次生成x，y，作为地雷放置的位置，如果位置重复则舍弃，重复执行直到获得m个位置。 21 一根棍子折三段能组成三角形的概率   假设折成的三段为x，y，L-x-y,则需要满足 所求概率等于x+y=L/2、x=L/2、y=L/2三条直线所包围图形的面积除以直线(x+y)=L与x轴、y轴所包围图形的面积 答案来源 22 一个圆上三个点形成钝角的概率是多少？假如两个点和圆心形成的圆心角已经是直角，那么第三个和这两个点形成钝角的概率是多少？ 在圆上任意取第一个点A； 再任意第二个点B,有AB重合、AB在同一条直径上两个特殊点,但对于圆上的无数个点来说,B取到上面两个特殊点的概率为0；所以可以使AB能够不重合且不在同一直径上的概率为1；以下叙述将不考虑上述两个特殊点；由上所述,A、B两点的取法可以看做是任意取,概率为1； 再任意取第三点C,C有与A重合、与B重合两个特殊点,同上,可以忽略不计设原点为O,则AO交圆于点D,BO交圆于点E,则C在弧DBAE时（D、B、A、E四点除外）,三角形ABC为钝角三角形；由弧AB的长度从趋近于零,到趋近于半圆,弧DBAE的长度由趋近于圆周长1,到趋近于半圆周1/2,所以弧DBAE的平均长度为 所以三角形ABC为钝角三角形的概率为3/4 答案来源 23 X，Y独立均服从（0,1）上的均匀分布，P{X^2+Y^2≤1}=?答案：边长为1的正方形的内切圆的面积/1= 24 一个圆，在圆上随机取3个点，这3个点组成锐角三角形的概率 同题22 25 一个袋子里有100个黑球和100个白球，每次随机拿出两个球丢掉，如果丢掉的是不同颜色的球，则从其他地方补充一个黑球到袋子里，如果颜色相同，则补充一个白球到袋子里。问：最后一个球是黑球和白球的概率分别为多大？ 思路1:令(x,y)=(黑，白)取出的个数 (-2,0)+(0,1)=(-2,1) (0,-2)+(0,1)=(0,-1) (-1,-1)+(1,0)=(0,-1)可以看出黑都是成对取出的，所以最后肯定剩下个白的。    思路2:相当于取异或，黑为1，白为0，所有球异或的结果是0 答案来源 26 扔骰子，最多扔两次，第一次扔完可以自行决定要不要扔第二次，去最后一次扔色子的结果为准，求：尽可能得到最大点数的数学期望1 2 3重新摇，4 5 6不摇。期望是4.25 27 甲乙轮流抛硬币，正面胜，先抛的人优势多大？ 设甲先抛。设甲胜率为x。则第一次甲抛了反面后，乙胜率为x，从而甲胜率+乙胜率=x+0.5x=1，从而x=2/3。 答案来源 28 不断地抛一枚均匀硬币，当出现连续两个正面时停止。问期望的总次数是多少？ 用E表示期望总次数，用E1表示一次抛到正面，接下来出现正正的期望次数，E0表示一次抛到反面，接下来出现正正的期望次数 因为， 因此结果为6 答案来源 另外，牛客网上用马尔可夫链来解的写的特别好。 29 赌徒破产问题 一个赌徒手中持有a美元，他和庄家进行抛均匀硬币的赌博，如果硬币为正面，赌徒获得1美元，否则赌徒失去1美元。当赌徒持有0美元时，以赌徒失败结束游戏；当赌徒持有a + b美元时，以庄家破产结束游戏。问赌徒的获胜概率。 我们用来表示赌徒手里持有i美元时他的胜率。   已知, 可见为等差序列，因此可以求得 答案来源 30 甲乙约定在某地,忘了约时间,只知道七点到八点见面,他们都打算于七点到七点四十五随机时刻到达某地,然后等十五分钟,如果两人没见面就走人,问他们见面的概率是多少? 几何方法算，X轴代表甲的出发时间，Y轴代表乙的出发时间，满足的范围为所求,答案为4/9。 31 a b c 分别循环投掷硬币，直到正面出现胜利，求a b c获胜的概率假设a的胜率为p，则b的胜率为0.5p，c的胜率为0.25p，p=4/7 32 某大公司有这么一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工全部放假一天。但在其余时候，所有员工都没有假期，必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大？ 极大似然估计求导得n=364.5 答案来源 33 有一个很大很大的输入流，大到没有存储器可以将其存储下来，而且只输入一次，如何从这个输入 流中随机取得m个记录 开一个m大的数组a[m]，前m个记录存入这个数组中。往后的记录采用这种取舍策略：假设为第p个，p是大于m的，在[0，p）间产生一个随机数r，如果r<m，那么a[r] = 第p个记录，反之抛弃这个记录。   证明：对于前面m个，被选中的概率为 对于比m大的，假设为第p个 答案来源 34 某段公路上1小时有车通过的概率是0.96，半小时有车通过的概率是多少 1个小时内有车通过的概率是0.96，那么个一个小时内没有车通过的概率是0.04。假设半小时有车通过的概率为x，那么 35 一个公交站在1分钟内有车经过概率是p，问3分钟内有车经过概率 36 8支球队循环赛，前四名晋级。求晋级可能性1/2?? 是太简单还是我是笨蛋呢 37 三个范围在0-1的数，和也在0-1的概率。三角锥的体积： 38 11个球，1个特殊球，两个人无放回拿球，问第一个人取到特殊球的概率 假设第一个人拿到球的概率为p， 39 1个球，1个特殊球，两个人无放回拿球，问第一个人取到特殊球的概率 相当于12个球排序，然后特殊球在1 3 5 7 9 11的概率，因此是1/2 40 11个球，1个特殊球，两个人有放回拿球，问第一个人先拿到这个特殊球的概率 假设第一个人先拿到的概率为p, 41 抛硬币，正面继续抛，反面不抛。问抛的次数的期望 假设抛的次数为x, 42 不停抛掷硬币直至连续3次出现正面，此时抛硬币的次数的期望是多少 假设期望是x， x=14 43 均匀分布如何生成正态分布 Box-muller令U1,U2服从[0,1]的均匀分布， 44 砝码问题：2个轻的砝码，5个重的砝码和一个天平，几轮可以找到轻的砝码？ 分别放左右分别放两个， 一样重，两边各一个轻一个重---3次 一边轻一边重，一种是两个轻两个重，另一种是左1轻1重右两重。去掉右边两个重的，剩下三个里面2个轻一个重---2次 45 蒙提霍尔问题（又称三门问题、山羊汽车问题）你在参加一个抽汽车的活动，你选择了一个门之后，主持人选择另外两个门的其中一个打开是山羊，然后问你是否换门，你换还是不换？ 在主持人知道汽车在哪个门的情况下，没开启的那扇门的概率变为2/3，所以要换。 答案来源 46 A是B的子集，P(B)＞0，则P(A)与P(A|B)的关系 贝叶斯公式 47 A 有 n 个硬币,B 有 n+1 个硬币,谁丢的正面多谁赢,问 B赢的概率？ 前n轮，A正面跟B正面的次数有三种情况,A>B,A==B,A<B定义, 由对称性，因此， 对第n+1轮进行讨论， A<B，不论结果如何B都赢 A>B,这种情况下无论B抛出来是正还是反，B都赢不了 A==B，当抛出来为正面是B赢 因此B赢的概率为 48 抛2k+1次硬币，问正面次数比背面多的概率是多大，并讲出数学证明思路。 假设正面次数比背面次数多的概率为x，因为抛了2k+1次，所以正反次数不可能相等。而背面比正面次数多的概率也是x，因此x+x=1答案是0.5 直接公式证明的资源 49 连续投硬币，当第一次出现正面时，一共投了奇数次则A赢，偶数次则B赢。求A, B赢的概率 问题转化：该问题相当于A，B轮流投硬币，先出正面就赢。 假设A赢的概率为p，则，结果为p=2/3 50 一个圆，往里面随机生成点，要求均匀 拒绝采样，假设半径为1，生成X，Y服从[-1,1]的均匀分布，如果在圆内就接受，不在就再次生成。 51 给定一个函数，它完全随机地产生【1,3】范围内的整数（即每个数的产生机率都是1/3）。用给定的函数去求一个完全随机产生【1,89】范围内的整数函数。。。注意，要求每个数的出现的概率都相同。 拒绝采样，我们有一个random3函数生成【1，3】 构造一个random9来生成【1，9】； 继续构造一个random243（9*9*3）生成1-243范围，如果大于178，重新生成。否则假设生成的数为x，返回(x-1)%89+1 52 6位数字的8位数码管显示的数字，倒过来看和以前相同的概率是多少。 1258旋转不变 6和9旋转后对称 53 两个1和6个0可以组成( )个不同的二进制数？这些二进制数化为十进制后总和是( ) ，1在每个位子上都出现的次数是均匀的，一共有56次，所以每个位子出现了7次，和= 54 月神特别喜欢吃月饼，中秋节时快手发了10个月饼，已知月神一天至少吃一个月饼；请问，月神在3天内将10个月饼全部吃完的概率为： 插板法， 55 在一个半径为r的圆上随机取两个点，这两个点之间的距离的期望为 固定一个点，另一个点围着它走一个半圆， 答案来源 56 有30瓶一样的药水，其中有一瓶变质了，喝了之后1小时会死掉。最少需要多少只小白鼠做实验，才能保证在1小时时间内找到有变质的一瓶？ 二进制问题 问题转化：假设有n瓶药水，里面1瓶有毒。 如果用1只小白鼠检测的话，n最大为2，即喝一瓶放一瓶； 如果2只，n最大为4； 当n为5时，最多能检测32瓶。因此，30瓶最少需要5只。 57 4 个人分牌，54 张扑克牌，除去两张大小王剩下 52 张扑克牌。问红桃 A 和黑桃 A 同时被一个人拿到的概率是多少？ 概率练习题搜罗 http://www.dscademy.com/probability-theory/problems/index.php?from=header https://www.nowcoder.com/discuss/95737 https://www.nowcoder.com/discuss/346845?order=0&page=1&pos=6&type=0 https://zhuanlan.zhihu.com/p/88247726