监督学习：从理论到实战全解析

监督学习的核心概念

监督学习通过已标注的训练数据构建模型，输入数据包含特征和对应的标签。模型学习特征与标签之间的映射关系，目标是预测新数据的标签。常见任务包括分类（离散标签）和回归（连续标签）。

评估指标因任务而异，分类任务常用准确率、精确率、召回率、F1分数；回归任务常用均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）。模型性能通过训练集与测试集的泛化能力衡量。

线性回归算法

线性回归假设目标与特征呈线性关系，模型形式为 $y = \beta_0 + \beta_1x_1 + ... + \beta_nx_n + \epsilon$。参数估计通常采用最小二乘法，最小化残差平方和：

$$ \min_{\beta} \sum_{i=1}^n (y_i - x_i^T\beta)^2 $$

多项式回归通过引入特征的高次项扩展线性回归，可拟合非线性关系。正则化技术如Lasso（L1）和Ridge（L2）能防止过拟合，分别对应损失函数中添加 $\lambda||\beta||_1$ 和 $\lambda||\beta||_2^2$。

逻辑回归与分类任务

逻辑回归虽名为回归，实为分类算法，通过sigmoid函数将线性输出映射到(0,1)区间：

$$ P(y=1|x) = \frac{1}{1+e^{-(\beta_0 + \beta^Tx)}} $$

参数估计采用极大似然法，损失函数为交叉熵：

$$ J(\beta) = -\sum_{i=1}^n [y_i \log(p_i) + (1-y_i)\log(1-p_i)] $$

多分类问题可通过OvR（One-vs-Rest）或softmax扩展。决策边界可视化有助于理解模型行为，特征工程如交互项能提升性能。

决策树与随机森林

决策树通过递归分割数据构建树结构，分割标准包括信息增益（ID3）、增益率（C4.5）或基尼指数（CART）。预剪枝（提前终止）和后剪枝（修建子树）控制复杂度。

随机森林通过Bootstrap采样构建多棵决策树，投票集成结果。每棵树仅考虑随机子集特征，降低方差。特征重要性评估基于分裂时的指标下降程度。

极端随机树（ExtraTrees）进一步随机化分割阈值。梯度提升树（如XGBoost、LightGBM）通过迭代修正残差实现更高精度。

支持向量机（SVM）

SVM寻找最大化间隔的超平面，原始优化问题为：

$$ \min_{w,b} \frac{1}{2}||w||^2 \quad \text{s.t.} \quad y_i(w^Tx_i + b) \geq 1 $$

核技巧将数据映射到高维空间解决线性不可分问题，常用核函数包括多项式核和高斯核（RBF）。软间隔允许部分样本违反约束，引入松弛变量 $\xi_i$ 和惩罚参数 $C$。

SMO算法高效求解对偶问题，多分类可采用OvO策略。Hinge损失函数 $L(y) = \max(0, 1 - yf(x))$ 体现其稀疏性优势。

模型选择与超参数调优

交叉验证（如k折）可靠估计泛化误差。网格搜索和随机搜索遍历参数组合，贝叶斯优化基于高斯过程智能采样。

特征缩放（标准化/归一化）对距离型算法（如SVM、KNN）至关重要。类别不平衡问题可通过过采样（SMOTE）、欠采样或调整类别权重解决。

Pipeline封装预处理与模型，确保数据无泄漏。早停法（Early Stopping）监控验证集性能防止过拟合。

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