题解 | #【模板】差分#

【模板】差分

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【模板】差分

题目描述

对于给定的长度为 的数组 ,我们有 次修改操作,每一次操作给出三个参数 ,代表将数组中的元素 都加上 。请你输出全部操作完成后的数组。

解题思路

本题要求对数组进行多次区间修改。如果每次修改都遍历区间 并更新其中的每一个元素,单次操作的时间复杂度为 ,总复杂度将达到 ,在数据量较大时会超时。

为了优化区间修改操作,我们可以引入差分数组(Difference Array)。

1. 什么是差分数组?

差分数组 是原始数组 的一种转换形式。我们定义:

  • (对于 )

差分数组有一个非常重要的性质:原始数组 是差分数组 的前缀和。 即

2. 差分如何优化区间修改?

一个对区间 中所有元素都加上 的操作,在差分数组上会产生什么影响?

  • 对于 都没有变,所以 不变。
  • 对于 增加了 ,而 不变。因此 。可见 的值增加了
  • 对于 都增加了 。因此 。可见 的值不变。
  • 对于 不变,而 增加了 。因此 。可见 的值减少了
  • 对于 都没有变,所以 不变。

结论:对原数组 的区间 加上值 ,等价于只对差分数组 进行两个单点修改:

  1. (需注意边界,当 时,此操作不需要)

3. 算法流程

  1. 构建初始差分数组:根据原始数组 计算出初始的差分数组 。这需要 时间。
  2. 处理所有修改:对于 次操作,每次操作都只修改差分数组的两个点。这需要 时间。
  3. 还原最终数组:所有修改操作完成后,通过计算差分数组的前缀和,还原出最终的数组 。这需要 时间。

通过这种方法,我们将总时间复杂度从 优化到了

代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
using LL = long long;

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    vector<LL> a(n + 1);
    // 差分数组,大小设为 n+2 以便处理 d[r+1]
    vector<LL> d(n + 2, 0);

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
        // 构建初始差分数组
        d[i] = a[i] - a[i - 1];
    }

    for (int k = 0; k < m; ++k) {
        int l, r;
        LL v;
        cin >> l >> r >> v;
        // 区间修改等价于对差分数组的两个点进行修改
        d[l] += v;
        d[r + 1] -= v;
    }

    // 通过前缀和还原最终数组
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        a[i] = a[i - 1] + d[i];
    }

    // 输出结果
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cout << a[i] << (i == n ? "" : " ");
    }
    cout << endl;

    return 0;
}
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();

        long[] a = new long[n + 1];
        // 差分数组,大小设为 n+2 以便处理 d[r+1]
        long[] d = new long[n + 2];

        // 构建初始差分数组
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            a[i] = sc.nextLong();
            d[i] = a[i] - a[i - 1];
        }
        
        // 处理m次修改
        for (int k = 0; k < m; k++) {
            int l = sc.nextInt();
            int r = sc.nextInt();
            long v = sc.nextLong();
            // 区间修改等价于对差分数组的两个点进行修改
            d[l] += v;
            d[r + 1] -= v;
        }

        // 通过前缀和还原最终数组并输出
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            a[i] = a[i - 1] + d[i];
            System.out.print(a[i] + (i == n ? "" : " "));
        }
        System.out.println();
    }
}
# 读取 n 和 m
n, m = map(int, input().split())
# 读取原始数组 (0-based)
a = list(map(int, input().split()))

# 差分数组 (1-based for easier logic)
# 大小为 n+2 以便处理 d[r+1]
d = [0] * (n + 2)

# 构建初始差分数组
d[1] = a[0]
for i in range(1, n):
    d[i+1] = a[i] - a[i-1]

# 处理m次修改
for _ in range(m):
    l, r, v = map(int, input().split())
    # 区间修改等价于对差分数组的两个点进行修改
    d[l] += v
    d[r + 1] -= v

# 通过前缀和还原最终数组
result = [0] * n
result[0] = d[1]
for i in range(1, n):
    result[i] = result[i-1] + d[i+1]

# 输出结果
print(*result)

算法及复杂度

  • 算法:差分 (Difference Array)
  • 时间复杂度:。其中 用于构建初始差分数组, 用于处理 次修改(每次 ),最后 用于从差分数组还原最终结果。
  • 空间复杂度:,用于存储差分数组。
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