小苯的数字权值解题思路

这个问题涉及到数字的权值计算，其中权值定义为数字的正因子个数。我们需要比较将数字拆分成质因数与不拆分时的权值和。

情况1：质因数只有一种

以 (8 = 2^3) 为例：

• 不拆分：8 的因子有 1, 2, 4, 8，共 4 个，所以权值和为 4。
• 拆分：将 8 拆分成 3 个 2，每个 2 的权值为 2，所以权值和为 (3 \times 2 = 6)。

情况2：质因数有多种

以 (70 = 2 \times 5 \times 7) 为例：

• 不拆分：70 的因子有 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70，共 8 个，所以权值和为 8。
• 拆分：将 70 拆分成 3 个质因数 2, 5, 7，每个质因数的权值为 2，所以权值和为 (3 \times 2 = 6)。

一般情况

对于一个数 (n)，假设其质因数分解为：[ n = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_k^{e_k} ]

• 不拆分：(n) 的因子数量为 ((e_1 + 1)(e_2 + 1) \cdots (e_k + 1))。
• 拆分：将 (n) 拆分成 (e_1 + e_2 + \cdots + e_k) 个质因数，每个质因数的权值为 2，所以权值和为 (2(e_1 + e_2 + \cdots + e_k))。

比较

• 当 (k = 1)（即只有一个质因数）时，不拆分的权值和为 (e_1 + 1)，拆分的权值和为 (2e_1)。显然，当 (e_1 > 1) 时，拆分的权值和更大。
• 当 (k > 1)（即有多个质因数）时，不拆分的权值和为 ((e_1 + 1)(e_2 + 1) \cdots (e_k + 1))，拆分的权值和为 (2(e_1 + e_2 + \cdots + e_k))。通常情况下，不拆分的权值和更大。

结论

• 对于只有一个质因数且指数大于 1 的数，拆分后权值和更大。
• 对于有多个质因数的数，不拆分的权值和通常更大。

因此，对于给定的问题，我们需要根据具体情况选择是否拆分。在质因数只有一种且指数大于 1 时，拆分是更好的选择。在有多个质因数时，不拆分通常更优。

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