题解 | #完全背包问题#

原题链接

题目描述

设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。

输入描述

第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；

第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。

输出描述

输出最大总价值。格式：“max=12”

完全背包问题

每种物品有无穷多个,物品i的体积：w[i]、价值：v[i]

dp[i][j]:前i种物品装进容量为j的背包所获得的最大价值

与0-1背包唯一区别：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]) 放得下时还可以继续选

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1001;
int w[maxn];
int v[maxn];
int dp[maxn][maxn];

int best(int sum,int n){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        dp[i][0]=0;
    }
    for(int i=0;i<=sum;i++){
        dp[0][i]=0;
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=sum;j++){
            if(w[i]>j)dp[i][j]=dp[i-1][j];
            else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);//唯一修改
        }
    }
    return dp[n][sum];
}


int main(){
    int sum,n;
    while(scanf("%d%d",&sum,&n)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
        printf("max=%d\n",best(sum,n));
    }
}

优化：压缩空间

• dp[i][j]只取决于上一行dp[i-1][j]和本行前面dp[i][j-w[i]]的值
• 故从前往后更新

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1001;
int w[maxn];
int v[maxn];
int dp[maxn];

int best(int sum,int n){
    
    for(int i=0;i<=sum;i++){
        dp[i]=0;
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=w[i];j<=sum;j++){//从前往后更新
             dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    return dp[sum];
}

int main(){
    int sum,n;
    while(scanf("%d%d",&sum,&n)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
        printf("max=%d\n",best(sum,n));
    }
}