扩展欧几里得算法
1、思路
若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y，ax+by=m中的m一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)
那么贝祖定理的一个直接应用就是：如果ax+by=1有解，那么gcd(a,b)=1（将原公式两边同时除以gcd(a,b)）。
扩展欧几里得算法用来解决这样一个问题：
给定两个非零的整数a和b，求一组整数解（x，y）使得ax+by = gcd(a,b)成立，其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数。（其中我们通过前面的贝祖定理可知解一定存在）
回忆我们知道的欧几里得算法，它总是把gcd(a,b)转化为求解gcd(b,a%b)，而当b变为0时返回a，此时的a就等于gcd。
回忆我们知道的欧几里得算法，它总是把gcd(a,b)转化为求解gcd(b,a%b)，而当b变为0时返回a，此时的a就等于gcd。
也就是说，欧几里得算法结束时变量a中存放的是gcd，变量b中存放的是0，因此此时显然有a × 1 + b × 0 = gcd成立，此时有x=1、y=0成立。
我们不妨利用上面的欧几里得算法的过程来计算x和y。目前已知的是递归边界成立时为x=1、y=0，需要想办法反推出最初始的x和y。
我们不妨利用上面的欧几里得算法的过程来计算x和y。目前已知的是递归边界成立时为x=1、y=0，需要想办法反推出最初始的x和y。
(1)用于求解方程 )
的解,
当b=0时，
，可以得到x=1，y=0
当b不为0时，
已知
对于a%b，有，（式子中为整除）
递归到下一层，有：
可得,
(2)对于求解一般方程ax+by=c
设d=gcd(a,b)，则其有解当且仅当 d|c（d能整除c，即c是d的倍数）
求解方法如下:
用扩展欧几里得求出
的解
用扩展欧几里得求出
a(x0∗c/d)+b(y0∗c/d)=c
则有
对比式子ax+by=c，我们可以得到一个特解
而通解 = 特解 + 齐次解
齐次解为 方程ax+by=0的解
则方程的通解为:
(3)求解一次同余方程ax≡b(mod m)
对于b%m，我们可以转化成
那么原式就可以化为
有解条件为 gcd(a,m)|b，然后用扩展欧几里得求解
特别的 当 b=1且 a与m互质时 则所求的x即为a的逆元
特别的 当 b=1且 a与m互质时 则所求的x即为a的逆元
2、代码模板：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
/*
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//返回gcd(a,b) 并求出解(引用带回)
{
//欧几里得算法结束时，变量a中存放的是gcd，变量b中存放的是0，因此此时显然有a × 1 + b × 0 = gcd成立。
if(!b)//当b为0时,它总是把gcd(a,b)转化为求解gcd(b,a%b)，而当b变为0时返回a，此时的a就等于gcd。
{
x=1,y=0;
return a;
}
int x1,y1;
int d=exgcd(b,a%b,x1,y1);//递归求最大公约数, 求完后d就是最大公约数，
x=y1;
y=x1-a/b*y1;
return d;
}
*/
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//返回gcd(a,b) 并求出解(引用带回)
{
//欧几里得算法结束时，变量a中存放的是gcd，变量b中存放的是0，因此此时显然有a × 1 + b × 0 = gcd成立。
if(!b)//当b为0时,它总是把gcd(a,b)转化为求解gcd(b,a%b)，而当b变为0时返回a，此时的a就等于gcd。
{
x=1,y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,y,x);//递归求最大公约数, 求完后d就是最大公约数，
y-=(a/b)*x;//公式是y1=x2-(a/b)*y2,由x1=y2转化为 y1=x2-(a/b)*x,又由x2为y1,所有化简为y-=(a/b)*x
return d;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
int a,b,x,y;
scanf("%d %d",&a,&b);
exgcd(a,b,x,y);
printf("%d %d\n",x,y);
}
return 0;
}
