D-Mocha and Railgun

题目

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33186/D

解题

找最长弧

通过几何画板绘图

发现当发射方向垂直于发射点与圆心的连线时,破坏圆弧最长

补个直观证明图,来自雨巨讲题

分类讨论

每个样例给发射点$QQ$点坐标$(x,y)(x,y)$,发射半径$dd$

可求得发射点到圆心的圆心距$L=\sqrt{x^2+y^2}L=\backslash sqrt\{x^2+y^2\}$

当原点在发射半径外时

$L>dL>d$

在三角形$AOEAOE$上,可求得$\alpha =\arcsin (L+d)\backslash alpha=\backslash arcsin(L+d)$

在三角形$IOJIOJ$上,可求得$\beta =\arcsin (L-d)\backslash beta=\backslash arcsin(L-d)$

对所求圆弧有$\mathrm{弧}\mathrm{长}=r\ast (\alpha -\beta )弧长=r*(\backslash alpha-\backslash beta)$

当原点在发射半径内时

在三角形$AOEAOE$上,可求得$\alpha =\arcsin (d+L)\backslash alpha=\backslash arcsin(d+L)$

在三角形$IOJIOJ$上,可求得$\beta =\arcsin (d-L)\backslash beta=\backslash arcsin(d-L)$

对所求圆弧有$\mathrm{弧}\mathrm{长}=r\ast (\alpha +\beta )弧长=r*(\backslash alpha+\backslash beta)$

代码

由上述逻辑得

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T;
int main(){
    cin>>T;
    double r,x,y,d,L;
    while(T--){
        cin>>r>>x>>y>>d;
        L=sqrt(x*x+y*y);
        if(L>d){
            printf("%.8lf\n",r*(asin((L+d)/r)-asin((L-d)/r)));
        }
        else{
            printf("%.8lf\n",r*(asin((d+L)/r)+asin((d-L)/r)));
        }
    }
    return 0;
}

然而其实有$\arcsin (-x)=-\arcsin (x)\backslash arcsin(-x)=-\backslash arcsin(x)$,故可以化简

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T;
int main(){
    cin>>T;
    double r,x,y,d,L;
    while(T--){
        cin>>r>>x>>y>>d;
        L=sqrt(x*x+y*y);
        printf("%.8lf\n",r*(asin((L+d)/r)-asin((L-d)/r)));
    }
    return 0;
}