判断模式分解是否为无损连接的方法

【方法步骤】

ρ = { R₁<U₁ , F₁> , R₂<U₂ , F₂> , … , R_k<U_k , F_k> } 是关系模式 R<U , F> 的一个分解，U = {A₁ , A₂ , … , A_n}，F = {FD₁ , FD₂ , … , FD_p}，并设 F 是一个最小依赖集，记 FD_i 为 X_i→A_j，其步骤如下：

① 建立一张 n(U中属性的个数) 列 k(ρ中关系模式的个数) 行的表，每一列对应一个属性，每一行对应分解中的一个关系模式。若属性A_j 属于 U_i，则在 j 列 i 行上真上 a_j，否则填上 b_ij；

② 对于 F 中的每一个 FD_i 做如下操作：找到 X_i 所对应的列中具有相同符号的那些行。考察这些行中 j 列的元素，若其中有a_j，则全部改为a_j，否则全部改为b_ij，i 得是这些行的行号最小值。

如果在某次更改后，有一行成为：a₁,a₂,…,a_n，则算法终止。且分解ρ具有无损连接性，否则不具有无损连接性。

【例题】

题目：

设关系模式R（U，F），其中：U= {A，B，C，D，E } ，F={A→B，DE→B，CB→E，E→A，B→D}。（ D ）为关系模式R的候选关键字。分解（ D ）是无损连接，并保持函数依赖的。

问题1选项

​ A.AB B.DE C.DB D.CE

问题2选项

​ A.ρ={ R₁(AC)，R₂(ED)，R₃(B)} B.ρ={ R₁(AC)，R₂(E)，R₃(DB)}

​ C.ρ={ R₁(AC)，R₂(ED)，R₃(AB)} D.ρ={ R₁(ABC)，R₂(ED)，R₃(ACE)}

解析：

第一空：由于B、E、A、D都能被推出来，所以候选关键字中一定包含C。所以选D。

第二空：解析如下👇

​ 1、一般关系中只有一个关键字都是有损的。

​ 2、注意F中的关系并不是只能用一次，可以反复使用。

这里我们以正确答案 D 为例来判断说明是否为无损连接的具体过程：

1. 构造一个初始的 i 行 j 列 的二维表，若 “属性” 属于 “模式” 中的属性，则填 a_j，否则填 b_ij。

   A	B	C	D	E
   R1（ABC）	a1	a2	a3	b14	b15
   R2（ED）	b21	b22	b23	a4	a5
   R3（ACE）	a1	b32	a3	b34	a5

2. 根据 A→B ，对上表进行处理，由于属性列 A上第1、3行相同均为a₁，所以将属性列 B 上的 a₂、b₃₂ 改为同一个符号 a₂（这里有有 a₂ 于是就改为 a₂）。

   A	B	C	D	E
   R1（ABC）	a1	a2	a3	b14	b15
   R2（ED）	b21	b22	b23	a4	a5
   R3（ACE）	a1	a2	a3	b34	a5

3. 根据 DE→B ，对上表进行处理，由于属性列 DE 上没有相同的列所以这里不做处理。

4. 根据 CB→E ，对上表进行处理，由于属性列 CB上第1、3行相同均为 a₂ a₃，所以将属性列 E 上的 a₅、b₁₅ 改为同一个符号 a₅（这里有有 a₅ 于是就改为 a₅）。

   A	B	C	D	E
   R1（ABC）	a1	a2	a3	b14	a5
   R2（ED）	b21	b22	b23	a4	a5
   R3（ACE）	a1	a2	a3	b34	a5

5. 根据 E→A ，对上表进行处理，由于属性列 E 上第1、2、3行相同均为 a₅，所以将属性列 A 上的 a₁、b₂₁ 、a₁改为同一个符号 a₁（这里有有 a₁ 于是就改为 a₁）。

   A	B	C	D	E
   R1（ABC）	a1	a2	a3	b14	a5
   R2（ED）	a1	b22	b23	a4	a5
   R3（ACE）	a1	a2	a3	b34	a5

6. 根据 B→D ，对上表进行处理，由于属性列 B 上第1、3行相同均为 a₂，所以将属性列 D 上的 b₁₄ 、b₃₄ 改为同一个符号 b₁₄ （取行号最小值）。

   A	B	C	D	E
   R1（ABC）	a1	a2	a3	b14	a5
   R2（ED）	a1	b22	b23	a4	a5
   R3（ACE）	a1	a2	a3	b14	a5

7. 再根据 A→B (前面已经用过，F中的依赖关系是可以重复使用的)，对上表进行处理，由于属性列 A上第1、2、3行相同均为a₁，所以将属性列 B 上的 a₂、b₂₂、a₂ 改为同一个符号 a₂。

   A	B	C	D	E
   R1（ABC）	a1	a2	a3	b14	a5
   R2（ED）	a1	a2	b23	a4	a5
   R3（ACE）	a1	a2	a3	b14	a5

8. 根据 B→D ，对上表进行处理，由于属性列 B 上第1、2、3行相同均为 a₂，所以将属性列 D 上的 b₁₄ 、a₄、b₁₄ 改为同一个符号 a₄。

   A	B	C	D	E
   R1（ABC）	a1	a2	a3	a4	a5
   R2（ED）	a1	a2	b23	a4	a5
   R3（ACE）	a1	a2	a3	a4	a5

9. 最终，第1、3行成为a₁a₂a₃a₄a₅。所以 D.ρ={ R₁(ABC)，R₂(ED)，R₃(ACE)} 分解具有无损连接性。

【参考博客】https://www.cnblogs.com/bewolf/p/4443730.html