【数据结构和算法】递归解决

这道题要求的最大路径和如果是从根节点开始到叶子节点就好办了，我们可以通过递归的方式，从下往上，舍去比较小的路径节点，保留比较大的节点。

但这道题要求的最大路径和并不一定经过根节点，如果再使用上面的方式就行不通了，对于这道题我们可以分为4种情况来讨论

1，只要当前节点，舍弃子节点。比如下面结点2的左右子节点都是负数，如果是负数我们还不如不要，所以直接舍弃子节点。

2，保留当前节点和左子节点。比如下面结点2的右子节点是负数，我们直接舍弃右子节点，但左子节点不是负数，我们可以保留左子节点。

3，保留当前节点和右子节点。比如下面结点2的左子节点是负数，我们直接舍弃左子节点，但右子节点不是负数，我们可以保留右子节点。

4，保留当前节点和两个子节点。比如下面结点2的左右子节点都不是负数，我们都可以留下。

上面的1，2，3都可以作为子树的一部分再继续计算，我们可以使用同一个公式，取左右子节点最大的那个即可，如果都小于0我们不要了，下面公式中left是左子树的值，right是右子树的值

而4是不能在作为子树的一部分参与计算的，因为已经分叉了，比如下面的3→2→4是不能再和结点1进行组合的。第4种情况如果左右子树有一个是小于0的我们还不如不选，如果都大于0我们都要选的。

搞懂了上面的分析过程，代码就很容易写出来了，我们最后来看下代码

private int maxValue = Integer.MIN_VALUE;

public int maxPathSum(TreeNode root) {
    maxPathSumHelper(root);
    return maxValue;
}

public int maxPathSumHelper(TreeNode root) {
    if (root == null)
        return 0;
    //左子节点的值
    int left = maxPathSumHelper(root.left);
    //右子节点的值
    int right = maxPathSumHelper(root.right);
    //第4种情况
    int cur = root.val + Math.max(0, left) + Math.max(0, right);
    //第1,2,3三种情况,返回当前值加上左右子节点的最大值即可，如果左右子节点都
    //小于0，还不如不选
    int res = root.val + Math.max(0, Math.max(left, right));
    //记录最大value值
    maxValue = Math.max(maxValue, Math.max(cur, res));
    //第1,2,3种情况还可以再计算，所以返回的是res
    return res;
}

时间复杂度：O(N)，每个节点要有访问一遍。

空间复杂度：O(H)，H是二叉树的最大高度，也是栈调用的深度，最差情况下二叉树倾斜成一个链表。

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