AcWing120防线经典题二分+前缀和+等差数列

达达学习数学竞赛的时候受尽了同仁们的鄙视，终于有一天…受尽屈辱的达达黑化成为了黑暗英雄怪兽达达。

就如同中二漫画的情节一样，怪兽达达打算毁掉这个世界。

数学竞赛界的精英 lqr 打算阻止怪兽达达的阴谋，于是她集合了一支由数学竞赛选手组成的超级行动队。

由于队员们个个都智商超群，很快，行动队便来到了怪兽达达的黑暗城堡的下方。

但是，同样强大的怪兽达达在城堡周围布置了一条“不可越过”的坚固防线。

防线由很多防具组成，这些防具分成了 N 组。

我们可以认为防线是一维的，那么每一组防具都分布在防线的某一段上，并且同一组防具是等距离排列的。

也就是说，我们可以用三个整数 S， E 和 D 来描述一组防具，即这一组防具布置在防线的 S，S + D，S + 2D，…，S + KD(K∈ Z，S + KD≤E，S + (K + 1)D>E)位置上。

黑化的怪兽达达设计的防线极其精良。如果防线的某个位置有偶数个防具，那么这个位置就是毫无破绽的(包括这个位置一个防具也没有的情况，因为 0 也是偶数)。

只有有奇数个防具的位置有破绽，但是整条防线上也最多只有一个位置有奇数个防具。

作为行动队的队长，lqr 要找到防线的破绽以策划下一步的行动。

但是，由于防具的数量太多，她实在是不能看出哪里有破绽。作为 lqr 可以信任的学弟学妹们，你们要帮助她解决这个问题。
输入格式

输入文件的第一行是一个整数 T，表示有 T 组互相独立的测试数据。

每组数据的第一行是一个整数 N。

之后 N 行，每行三个整数 Si，Ei，Di

，代表第 i 组防具的三个参数,数据用空格隔开。
输出格式

对于每组测试数据，如果防线没有破绽，即所有的位置都有偶数个防具，输出一行"There's no weakness."(不包含引号) 。

否则在一行内输出两个空格分隔的整数 P 和 C，表示在位置 P 有 C 个防具。当然 C 应该是一个奇数。
数据范围

防具总数不多于 $1 0^{8}$
Si≤Ei
1≤T≤5
N≤200000

0≤Si，Ei，Di≤231−1

输入样例：

输出样例：

1 1
There's no weakness.
4 3

难度：中等
时/空限制： 1s / 64MB
总通过数： 540
总尝试数： 913
来源：《算法竞赛进阶指南》
算法标签

题意 :
给定很多个等差数列,他们可能会重叠,并且题目保证对每个位置求个数后最多只有一个位置是奇数
要求我们找到这个位置并输出个数

如下图 :

推荐y总讲题视频:https://www.acwing.com/video/97/

前置知识:

奇数+奇数=偶数, 偶数+奇数=奇数, 偶数+偶数=偶数
前缀和
二分

我们二分猜这个位置idx,check函数直接求所有满足 $[0, i d x]$ 的等差数列的前缀和
如果 idx这个位置的前缀和(用 $S U M_{i d x}$ 表示) 是一个奇数,说明idx可以向左边偏移一点
如果是偶数,说明idx可以向右边偏移一点

关键是 $c h e c k ()$ 函数求前缀和需要一点点数学知识:
已知首项 $a_{1}$ ,末项 $a_{n}$ ,则求末项 $a_{n}$ 是第几项: $[(a_{n} - a_{1}) / d] + 1$
代码 :

int check(int mid) {
	int sum = 0;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		if(a[i].s > mid) continue ; //可能这个等差数列和猜的idx没有交集
		int an = min(mid, a[i].e); //取猜的和等差数列上界的最小值为末项
		sum += ((an - a[i].s) / a[i].d + 1);
	}
	return sum;
}

完整代码如下

#define debug
#ifdef debug
#include <time.h>
#include "/home/majiao/mb.h"
#endif

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string.h>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <math.h>

#define MAXN ((int)2e5+7)
#define ll long long int
#define INF (0x7f7f7f7f)
#define fori(lef, rig) for(int i=lef; i<=rig; i++)
#define forj(lef, rig) for(int j=lef; j<=rig; j++)
#define fork(lef, rig) for(int k=lef; k<=rig; k++)
#define QAQ (0)

using namespace std;

#define show(x...) \ do { \ cout << "\033[31;1m " << #x << " -> "; \ err(x); \ } while (0)

void err() { cout << "\033[39;0m" << endl; }
template<typename T, typename... A>
void err(T a, A... x) { cout << a << ' '; err(x...); }

namespace FastIO{

	char print_f[105];
	void read() {}
	void print() { putchar('\n'); }

	template <typename T, typename... T2>
		inline void read(T &x, T2 &... oth) {
			x = 0;
			char ch = getchar();
			ll f = 1;
			while (!isdigit(ch)) {
				if (ch == '-') f *= -1; 
				ch = getchar();
			}
			while (isdigit(ch)) {
				x = x * 10 + ch - 48;
				ch = getchar();
			}
			x *= f;
			read(oth...);
		}
	template <typename T, typename... T2>
		inline void print(T x, T2... oth) {
			ll p3=-1;
			if(x<0) putchar('-'), x=-x;
			do{
				print_f[++p3] = x%10 + 48;
			} while(x/=10);
			while(p3>=0) putchar(print_f[p3--]);
			putchar(' ');
			print(oth...);
		}
} // namespace FastIO
using FastIO::print;
using FastIO::read;

#define int long long 

int n, m, Q, K;
struct Node {
	int s, e, d, N;
} a[MAXN];

int check(int mid) {
	int sum = 0;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		if(a[i].s > mid) continue ;
		int an = min(mid, a[i].e);
		sum += ((an - a[i].s) / a[i].d + 1);
	}
	return sum;
}

signed main() {
#ifdef debug
	freopen("test", "r", stdin);
	clock_t stime = clock();
#endif
	read(Q);
	while(Q--) {
		read(n);
		int lef = 1, rig = 0, mid;
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			read(a[i].s, a[i].e, a[i].d);
			rig = max(rig, a[i].e);
		}
		int ans = -1, ans2 = -1;
		while(lef <= rig) {
			mid = (lef + rig) >> 1;
			int ret = check(mid);
			if(ret & 1) {
				ans = mid;
				ans2 = ret;
				rig = mid - 1;
			} else {
				lef = mid + 1;
			}
		}
		ans2 = check(lef) - check(lef-1); //求这个位置上的个数
		if(~ans) 
			printf("%lld %lld\n", ans, ans2);
		else 
			printf("There's no weakness.\n");
	}
	





#ifdef debug
	clock_t etime = clock();
	printf("rum time: %lf 秒\n",(double) (etime-stime)/CLOCKS_PER_SEC);
#endif 
	return 0;
}