错排公式（组合数学）

问题： 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。

考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。

这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？

又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。

错排公式：

D(n) = (n - 1) * [D(n - 2) + D(n - 1)] D(1) = 0,D(2) = 1

=>

D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n! ]

D(0) = 0（所有的元素都放回原位、没有摆错的情况）
D(1) = 0（只剩下一个元素，无论如何也不可能摆错）
D(2) = 1（两者互换位置）
D(3) = 2（ABC变成BCA或CAB）


但是在用公式带入的时候：
ans[0] = 1;
ans[1] = 0;    
ans[2] = 1;

试题链接：https://vjudge.net/contest/376400#problem/E

代码如下：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <stack>
#include <sstream>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stdlib.h>


using namespace std;

long long d[26];

void chu()         //错排初始化
{
    d[0]=1;
    d[1]=0;
    for(int i=2;i<=14;i++)
    {
        d[i]=(i-1)*(d[i-1]+d[i-2]);
    }
}

long long C(int n,int x)         //求组合数c(n,x)；
{
    long long sum=1;
    for(int i=1;i<=x;i++)
    {
        sum=sum*(n-i+1)/i;
    }
    return sum;
}

int main()
{
    chu();
    int n;
    long long ans;
    while(cin >> n)
    {
        if(n==0) break;
        ans=0;
        for(int i=0;i<=n/2;i++)
        {
            ans+=C(n,i)*d[i];//累加
//            cout << C(n,i) << " " << d[i] << endl;
        }
        cout << ans << endl;
    }
}