[NOI2010]能量采集 - 反演

题目描述

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。

在这个例子中，总***生了36的能量损失。

输入输出格式

输入格式：

仅包含一行，为两个整数n和m。

输出格式：

仅包含一个整数，表示总***生的能量损失。

输入输出样例

输入样例#1：

【样例输入1】
5 4


【样例输入2】
3 4

输出样例#1：

【样例输出1】
36

【样例输出2】
20

说明

对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

首先看到这道题，作为一个彩笔，首先想到的就是建系，但是建系的话就更麻烦了，所以说我们需要搞到一个更好的方法

|
| o (4,2)
| /
| o (2,1)
| /
o ---- ----------------

懒得画图再传了，就用这个将就一些吧

注意，我们看到(4,2)这个点，它与原点构成的一次函数(正比例函数)的解析式为f(x) = 2x,那么说他一定经过(2,1)

回到问题上来，我们要求的某个点能量损失事实上就是求他与原点构成的一次函数经过的整数点。

一次函数经过的整数点怎么算呢?经过我们的一番严密的，细致的思索，终于得出----gcd(x, y)。具体为什么呢，请自行推理

所以说，我们就写出了第一个暴力解法

int Solve(){
    LL ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            ans += gcd(i, j);
    return ans * 2 - m * n;
}

但是，明显这样做不是出题人的意图。毕竟暴力就可以水过的题不会再NOI中出现

然后就是神必反演了（这个是传到nowcoder上的时候加的...因为之前有点nt，请见谅）

// 时间复杂度: O(nlogn)
#include<iostream>
#include<cstdio>

#define LL long long

using namespace std;

const int MAXN = 100001;

LL size,m,mu[MAXN],Answer,tot;
LL p[MAXN],np[MAXN];

void get_mu(){
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= size; i++){
        if(!np[i]) p[++p[0]] = i,mu[i] = -1;
        for(int j = 1; j <= p[0] && p[j]*i <= size; j++){
            int k = p[j]*i;
            np[k] = 1;
            if(!(i % p[j])) break;
            mu[k] = -mu[i];
        }
    }
}

int main(){
    cin >> size >> m;
    get_mu();
    for(int d = 1; d <= size; d++)
        for(int i = 1; i <= min(size, m) / d; i++)
            Answer += d * mu[i] * (size / (d * i)) * (m / (d * i));
    cout << Answer * 2 - size * m;
    return 0;
}