中国剩余定理 (CRT)

中国剩余定理，又名孙子定理

能求解什么问题呢？

问题：

一堆物品

3个3个分剩2个

5个5个分剩3个

7个7个分剩2个

问这个物品有多少个

中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

中国剩余定理说明：假设整数 m1, m2, ... , mn两两互质，则对任意的整数： a1, a2, ... , an，

方程组(S)

有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设

是整数 m1, m2, ... , mn的乘积，并设

是除了 mi以外的 n- 1个整数的乘积。

设

这个就是逆元了

通解形式为

在模M的意义下，方程组(S)只有一个解：

注意这样求解的一定要满足： m1,m2,....,mn 两两互质

 1 LL inv(LL t,LL p){   // t 关于 p 的逆元
 2     LL x,y,d;
 3     d = ex_gcd(t,p,x,y);
 4     if (d == 1){
 5         return (x%p+p)%p;
 6     }else
 7         return -1;
 8 }
 9 
10 
11 // n个方程： x = a[i](mod m[i])   (0<=i<n)
12 
13 LL china(int n,LL *a,LL *m){
14     LL M = 1,ret = 0;
15     for (int i=0;i<n;i++){
16         M *= m[i];
17     }
18     for (int i=0;i<n;i++){
19         LL w = M/m[i];
20         ret = (ret + inv(w,m[i]) * w * a[i]) % M;
21     }
22     return (ret + M) % M;
23 }

但是如果遇到不是互质的模线性方程组我们要怎么办呢？

问题描述：给出bi，ni的值，且n1, n2, n3,…, ni两两之间不一定互质，求Res的值？
解：采用的是合并方程的做法。
这里将以合并第一第二个方程为例进行说明
由上图前2个方程得(设k1、k2为某一整数)：

例题： hdu 1573 X问题【下面已给出代码】
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 
 4 typedef long long LL;
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 int N;
 9 
10 
11 LL ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
12     if (b == 0){
13         x = 1;
14         y = 0;
15         return a;
16     }
17     LL gcd = ex_gcd(b,a%b,y,x);
18     y -= (a/b)*x;
19     return gcd;
20 }
21 
22 LL inv(LL t,LL p){   // t 关于 p 的逆元
23     LL x,y,d;
24     d = ex_gcd(t,p,x,y);
25     if (d == 1){
26         return (x%p+p)%p;
27     }else
28         return -1;
29 }
30 
31 
32 // n个方程： x = a[i](mod m[i])   (0<=i<n)
33 
34 LL china(int n,LL *a,LL *m){
35     LL M = 1,ret = 0;
36     for (int i=0;i<n;i++){
37         M *= m[i];
38     }
39     for (int i=0;i<n;i++){
40         LL w = M/m[i];
41         ret = (ret + inv(w,m[i]) * w * a[i]) % M;
42     }
43     return (ret + M) % M;
44 }
45 
46 LL CRT(LL b[],LL n[],int num){
47     bool flag = false;
48     LL n1 = n[0],n2,b1 = b[0],b2,bb,d,t,k,x,y;
49     for (int i=1;i<num;i++){
50         n2 = n[i],b2 = b[i];
51         bb = b2 - b1;
52         d = ex_gcd(n1,n2,x,y);
53         if (bb%d){
54             flag = true;
55             break;
56         }
57         k = bb / d * x;
58         t = n2 / d;
59         if (t<0)
60             t = -t;
61         k = (k % t + t) % t;
62         b1 = b1 + n1 * k;
63         n1 = n1 / d * n2;
64     }
65     if (flag)     //无解
66         return 0;
67     if (b1 == 0)   // 如果解为0，题目要求正整数解，显然不可以
68         b1 = n1;   // n1为所以n[i] 的最小公倍数
69     if (b1>N)
70         return 0;
71     return (N-b1) / n1 + 1;      //形成的解：b1, b1+n1, b1+2n1,..., b1+xni...
72 }
73 
74 
75 int main(){
76     int t,num;
77     LL b[10],n[10];
78     scanf("%d",&t);
79     while (t--){
80         scanf("%d%d",&N,&num);
81         for (int i=0;i<num;i++){
82             scanf("%lld",&n[i]);
83         }
84         for (int i=0;i<num;i++){
85             scanf("%lld",&b[i]);
86         }
87         printf("%lld\n",CRT(b,n,num));
88     }
89     return 0;
90 }