快速幂的应用

这篇博客归纳总结了快速幂的一些应用，快速幂只是一个工具，难点不在于实现而在于在合适的时候把它用上。选取了几个可以使用快速幂解决的问题，由显而易见到较为复杂难以辨别。

快速幂算法：

基础：(a+b)%c=(a%c+b%c)%c           a*b%c=(a%c*b%c)%c;

故：a^b=a^(2^x1+2^x2+..........+2^xn)     若b为奇数，则xn为0，若b为偶数，则xn为1

将b转化为2的次方和后可将复杂度由O(b)降为O(log2b)

快速幂代码模板：

int quick_pow(int a,int b)
{
	int base=a,ans=1;
	while(b)//一直计算到b为0
	{
		if(b&1)		ans*=base;//b为奇数时乘上base
		base*=base;//base平方
		b=b>>1;//指数减半
	}
	return ans;
}

第一题：杭电1061 快速幂模基础板题http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1061

分析：求N^N的最后一位数字。直接算太大，于是只算最后一位数字N%10的N次方，在每一步取模即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int quick_pow(int a,int b)
{
	int base=a,ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)	ans=(ans*base)%10;
		base=(base*base)%10;
		b=b>>1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int n,t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>n;
		cout<<quick_pow(n%10,n)<<endl;
	}
	return 0;
}

第二题：神秘钥匙————选自牛客网小白月赛8

比赛链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/214#question

题目链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/214/C

分析：显然结果等于 这道题并不容易察觉出是快速幂。由于n的范围为10^9，如果依次计算求和肯定超时。根据组合数公式可得到该式可以转化为n*2^(n-1)，于是可利用快速幂取模

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1000000007;
ll quick_pow(ll a,ll b)
{
	ll ans=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1)	
			ans=(ans*base)%MOD;
		base=(base*base)%MOD;
		b=b>>1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ll n;
	cin>>n;
	cout<<quick_pow(2,n-1)*n%MOD<<endl;
	return 0;
}

第三题：后续继续更