变态跳台阶
变态跳台阶
http://www.nowcoder.com/questionTerminal/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387
描述：
这是一道可以递归，记忆化递归，动态规划，递推思想的题目。
知识点：递归，动态规划，递推
难度：一星
题解：
方法一：暴力方法
设f[i] 表示 当前跳道第 i 个台阶的方法数。那么f[n]就是所求答案。
假设现在已经跳到了第 n 个台阶，那么前一步可以从哪些台阶到达呢？
如果上一步跳 1 步到达第 n 个台阶，说明上一步在第 n-1 个台阶。已知跳到第n-1个台阶的方法数为f[n-1]
如果上一步跳 2 步到达第 n 个台阶，说明上一步在第 n-2 个台阶。已知跳到第n-2个台阶的方法数为f[n-2]
。。。
如果上一步跳 n 步到达第 n 个台阶，说明上一步在第 0 个台阶。已知跳到 第0个台阶的方法数为f[0]
那么总的方法数就是所有可能的和。也就是f[n] = f[n-1] + f[n-2] + ... + f[0]
显然初始条件f[0] = f[1] = 1
所以我们就可以先求f[2]，然后f[3]...f[n-1]， 最后f[n]
代码：
int jumpFloorII(int n) {
if (n==0 || n==1) return 1;
vector<int> f(n+1, 0);
f[0] = f[1] = 1;
for (int i=2; i<=n; ++i) {
for (int j=0; j<i; ++j) {
f[i] += f[j];
}
}
return f[n];
} 复杂度分析：
时间复杂度：O(n2)
空间复杂度：O(n)
方法二：继续优化
对于方法一中的：f[n] = f[n-1] + f[n-2] + ... + f[0]
那么f[n-1] 为多少呢？
f[n-1] = f[n-2] + f[n-3] + ... + f[0]
所以一合并，f[n] = 2*f[n-1]，初始条件f[0] = f[1] = 1
所以可以采用递归，记忆化递归，动态规划，递推。具体详细过程，可查看青蛙跳台阶。
这里直接贴出递推的代码。
代码：
int jumpFloorII(int n) {
if (n==0 || n==1) return 1;
int a = 1, b;
for (int i=2; i<=n; ++i) {
b = a << 1; // 口诀：左移乘2，右移除2
a = b;
}
return b;
} 当然，你会发现一个规律：
f[0] = f[1] = 1
f[2] = 2 = 21
f[3] = 4 = 22
f[4] = 8 = 23
...
f[n] = 2n-1
所以，针对本题还可以写出更加简单的代码。
int jumpFloorII(int n) {
if (n == 0 || n == 1) return 1;
return static_cast<int>(pow(2, n-1));
} 复杂度分析：
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)
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