题目链接 程序自动分析 题目描述 给定  个形如  或  的约束条件，你需要判断是否存在一种对变量的赋值方案，能够同时满足所有这些约束。 输入包含  个独立的测试用例。每个测试用例首先给出约束的数量 ，然后是  行约束，每行格式为 ，其中：  如果 ，约束为 。 如果 ，约束为 。  对于每个测试用例，输出 "YES"（如果可满足）或 "NO"（如果不可满足）。 解题思路 这是一个典型的约束满足问题，可以使用并查集（Disjoint Set Union, DSU）来高效解决。 核心思想  相等关系：约束  具有传递性。如果  且 ，那么必然有 。这正是并...

题目链接 动态最长连续子序列 题目描述 给定一个长度为  的非负整数数列  和一个  到  的排列 。排列  表示一个“摧毁”序列，在第  步，位于原数列第  个位置的数将被摧毁。 每当一个数被摧毁后，你需要找出当前数列中未被摧毁的数所构成的和最大的连续子序列。如果当前数列中已没有未被摧毁的数，则最大和为 。你需要输出每一步操作后的最大和。 解题思路   逆向思维 直接模拟“摧毁”过程非常复杂，因为每次摧毁都会将一个连续的段断裂成两个或零个，维护最大和非常困难。 我们可以逆向思考这个问题。不按顺序摧毁元素，而是从一个全被摧毁的空序列开始，按照摧毁顺序的逆序，一步步地将元素“恢复”回来。  原问...

题目链接 和谐并处的车 题目描述 在一个  的棋盘上，有  个“车”，初始时它们两两不互相攻击（即任意两个车都不同行也不同列）。 一个“车”可以沿其所在的行或列移动任意格。移动的目标是，在移动后，它仍然不能被任何其他的车攻击。 你需要计算出最少的移动步数，使得所有  个车都位于棋盘的主对角线上（即形如  的格子）。 解题思路 这是一个经典的图论建模问题。问题的核心是识别出“车”的位置关系所形成的结构，并计算移动它们以解除依赖所需的最小代价。 1. 建模为有向图 我们可以将棋盘的行和列编号 () 视作图的顶点。每个“车”的位置  可以被看作是一条从顶点  指向顶点  的有向边 。 由于初始时所有...

题目链接 复合共轭图构造 题目描述 给定两个拥有  个顶点的无向图  和 。我们可以对图  执行任意次操作：添加一条边或移除一条边。目标是求使得图  和图  的连通性完全相同的最小操作次数。 “连通性完全相同”指的是：对于任意两个顶点  和 ，当且仅当它们在图  中连通（存在路径）时，它们在图  中也连通。 解题思路   分析题目条件 题目的核心要求是修改图 ，使其连通分量划分与图  的完全一致。例如，如果顶点  在图  中构成一个连通分量， 构成另一个，那么在修改后的图  中， 和  也必须是对应的连通分量。   分类处理 F 的边 我们可以根据图  的连通性，将图  的所有边分为两类：  ...

题目链接 学习资料 题目描述 总共有  个营员，编号为 。每个营员  都填写了一份调查表，指明他愿意将资料拷贝给哪些其他营员。 资料的传递是具有传递性的：如果营员  愿意给 ， 又愿意给 ，那么一旦  获得了资料， 和  最终也都能获得资料。 现在需要确定，至少要刻录多少张光盘（即初始发给多少个营员），才能保证所有  个营员最终都能得到资料。 解题思路 这是一个关于有向图中信息传递和覆盖的问题。我们可以将问题抽象为一个图论模型来求解。 1. 图的构建  将  个营员视为图中的  个顶点。 如果营员  愿意将资料拷贝给营员 ，我们就在图中画一条从  指向  的有向边 。 这样，我们就构建了一个代...

题目链接 村村通工程 题目描述 某市有  个城镇，编号从  到 。现有一些已建成的道路，每条道路连接两个城镇。市政府的目标是实现“村村通”，即任意两个城镇之间都可以通过道路网络相互到达。请计算最少还需要建设多少条道路才能实现这一目标。 解题思路 这个问题可以抽象成一个图论问题。将  个城镇看作图的  个顶点，已有的  条道路看作图的  条边。 目标“任意两个城镇间都可以实现交通”等价于让整个图变为一个连通图。 一个图可以由若干个连通分量组成。在同一个连通分量内，任意两个顶点都是相互连通的。不同连通分量之间的顶点则互不连通。 要想让整个图连通，我们只需要将所有的连通分量连接起来。假设图中有  个...

题目链接 修复公路 题目描述 在一个国家中，有  个城市和  条双向公路。一场灾害后，所有公路都被损坏。 对于每条公路，我们知道它连接的两个城市以及修复它所需的时间。 你需要找出最早的时刻，使得任意两个城市之间都能够互相到达（直接或间接通过已修复的公路）。如果即使所有公路都修复完毕，图仍不连通，则输出 -1。 解题思路 这道题要求我们找到一个最小的时间，使得所有城市构成一个连通图。问题的核心在于，如果我们能在时间  达成目标，那么在任何大于  的时间点，目标也一定是达成的。这暗示了我们可以通过某种方式寻找这个关键的“瓶颈”时间点。 这正是**最小生成树（Minimum Spanning Tre...

题目链接 【模板】有依赖的背包问题 题目描述 现有  朵云（物品），编号为 。每朵云  都有一个价格  和一个价值 。 存在  个搭配关系。每个搭配关系连接两朵云  和 ，表示购买  就必须购买 ，反之亦然。这种关系是传递的，例如，如果  与  搭配， 与  搭配，那么购买这三者中的任意一个，都必须同时购买另外两个。 你现在有  的钱，目标是最大化你能购买到的云的总价值。 解题思路 这道题目是经典的 分组背包 问题，其核心思想是 并查集 和 0/1背包 的结合。 1. 物品分组 题目中的“搭配关系”具有对称性和传递性。这意味着所有相互关联的物品形成了一个个独立的集合（或组）。对于每个组内的物品...

题目链接 【模板】并查集 题目描述 给定  个编号为  的元素，初始时每个元素都属于一个独立的集合。需要实现一个并查集数据结构，支持以下三种操作共  次：  合并 (Union): 将元素  和  所在的集合合并。 查询 (Find): 判断元素  和  是否在同一个集合中。 信息查询: 输出元素  所在的集合的大小（包含的元素数量）。  解题思路 并查集（Disjoint Set Union, DSU）是一种用于处理不相交集合的合并与查询问题的数据结构。它通常使用一个数组来模拟一片“森林”，其中每棵树代表一个集合。 核心结构  parent 数组：parent[i] 存储元素 i 的父节点。...

题目链接 数组取精 题目描述 给定两个长度为  的正整数序列  和 。 需要找出一个下标子集 （），该子集被称为“精华子集”，当且仅当同时满足以下两个条件： a.  b.  你需要找到并输出这样任意一个精华子集。 解题思路 这是一个构造性问题，目标是找到一个满足条件的子集。问题的核心在于，选出的子集  中元素的  之和与  之和，都必须超过各自序列总和的一半。 我们可以采用一种贪心构造的策略。这个策略的核心思想是：首先在一个维度（比如数组 ）上取得绝对优势，然后再在另一个维度（数组 ）上进行明智的选择，以确保第二个条件也尽可能满足。事实证明，这种策略总是能找到一个解。 算法步骤如下：   排序...

题目链接 【模板】Pollard-Pho算法 题目描述 给定  组测试数据，对于每个正整数 （），判断它是否为质数。 解题思路 本题要求对一个大整数进行素性检验。当  的范围达到  时，传统的试除法（时间复杂度为 ）会超时。因此，我们需要使用更高效的算法。 米勒-拉宾素性检验（Miller-Rabin Primality Test） 是解决此类问题的标准算法。它是一种概率性测试，但通过精心选择一组“基底”（bases），可以对 long long 范围内的数进行确定性的判断。 算法核心原理 米勒-拉宾检验基于费马小定理和二次探测定理：  费马小定理：如果  是一个质数，且  是任何不能被  整...

题目链接 构造异或三角形 题目描述 给定一个正整数 ，请判断是否存在一个正整数 ，满足以下两个条件：   边长为 , , 和  的三条边能构成一个非退化三角形。  若存在，输出任意一个满足条件的 ；否则输出 -1。 解题思路 这是一个结合了位运算和几何性质的构造性问题。 1. 问题转化与条件简化 我们要寻找一个正整数  ()，使得三条边 , ,  满足三角不等式（两边之和大于第三边）：      我们可以利用一个关键的位运算恒等式  来分析上述不等式。   对于条件 1 (): 代入恒等式得 ，简化后得到 ，即 。 这意味着， 和  的二进制表示中，必须至少有一位是共同的 1。   对于条件 ...

题目链接 有向图染色构造 题目描述 给定一个包含  个点和  条边的有向图。你需要为每个点染上黑色或白色。一条边被称为“核心边”，当且仅当它的起点是黑色，终点是白色。 你的任务是构造一种染色方案，使得图中的核心边数量不少于 。你需要输出你构造方案下的核心边总数，以及所有核心边的编号。 解题思路 题目的目标是构造一个染色方案，使得核心边的数量达到一个下限 。这是一个构造性问题，可以通过一个基于贪心和概率期望思想的精巧算法来解决。 首先，考虑一个完全随机的染色方案：为每个节点独立地、等概率地（1/2）选择染成黑色或白色。对于任意一条边 ，它成为核心边（即  为黑， 为白）的概率是 。根据期望的线性...

题目链接 不是解的解 题目描述 给定  个一元三次方程，每个方程由三元组  描述，形式为 。你需要找到任意一个在区间  内的整数 ，使得它不是这  个方程中任何一个的解。 数据范围：, , , 。 解题思路 本题的数据范围相较于旧版本有了极大的提升，这使得原先的解法失效，需要我们重新分析。 1. 解的存在性分析 (鸽巢原理)  根据代数基本定理，一个一元三次方程最多有 3 个整数解。 我们总共有  个方程，其中 。 因此，所有  个方程的整数解的总数，最多为  个。 我们需要寻找解的范围是整数区间 ，这个区间内的整数总数为  个。 由于候选整数的数量（约 ）大于所有可能的整数解的数量（最多 ）...