题目描述 小 D 穿越到《超级泡泡堂》世界，需要在地图上选择一个位置（即他当前所在位置）放置唯一一次可用的炸弹。炸弹爆炸后，火焰会向上下左右四个方向蔓延：  遇到空地（.）可继续传播； 遇到杂草（!）会将其烧毁（计为 1 个被清除的杂草）并继续传播； 遇到石头（#）或地图边界则停止该方向传播。  目标是计算最多能烧掉多少杂草。  本题是考察连通性搜索（DFS/BFS） 的题，难度中等  核心思路 核心观察 火焰的蔓延规则等价于：从起始点出发，在不穿过石头的前提下，遍历所有可达的格子（包括空地和杂草），其中每个 ! 贡献 1 点答案。 由于技能只能用一次且必须在当前位置使用，因此问题转化为：从起...

题目描述 给定正整数  和 ，求一个正整数 ，使得  最小。若存在多个  使得差值相同，输出任意一个即可（通常取较小者，但本题数据保证唯一最优或按实现逻辑可过）。  本题是考察整数快速幂 + 二分搜索 + 溢出防御的题，难度中等偏上  核心思路 核心观察  函数  在  时是单峰函数：先递减后递增。 最优解  必然在  附近，即满足  的两个候选值  和  中产生。 由于 ，当  时， 的上界很小（如  时 ， 时 ），可安全二分。 关键难点：计算  时极易发生 long long 溢出，导致未定义行为（如负数、0），进而引发除零错误（SIGFPE）或逻辑错误。   本题快速幂不让取模，所以溢...

题目描述 小美拿到了一个数组，她每次可以进行如下操作：选择两个元素，一个加 1，另一个减 1。小美希望若干次操作后，众数的出现次数尽可能多。你能帮她求出最小的操作次数吗？ 众数定义：在一组数据中，出现次数最多的数据（可能有多个）。  本题是考察贪心与数学分析的题，难度中等。  核心思路 核心观察  操作守恒性：每次操作不改变数组总和 ，只重分配数值。 最大众数频次：  若 ，可使所有  个元素等于 ，频次为 。 否则，最大频次为 （因无法使所有元素相等，但可使任意  个元素相等）。   最优目标值：对于  个元素，使其等于整数  的最小操作次数在  或  时取得（ 为剩余元素的平均值）。 离群...

题目描述  本题是高精度字符串处理的题，难度简单  给定一个正整数 （位数可达 ），请将其转写为科学计数法形式：  要求：   为整数；  是对  的第二位数字四舍五入后保留的一位小数；  为整数指数； 输出格式严格为：a.b*10^c（无空格）。  输入保证 ，即  至少有 3 位，且无前导零。 核心思路 核心观察  科学计数法只需关注 前三位数字 和 总位数。 四舍五入仅由第三位数字决定：若 ，则第二位加 1。 利用整数除法 (s[2]-'0')/5 可巧妙实现四舍五入标志（0 或 1），无需分支判断。 进位最多发生一次：例如 995 → 9.95 → 四舍五入为 10.0，需修正为 1....

题目描述 Tk 有一个长度为  的小写字母字符串 ，和一个长度为  的小写字母字符串 。他可以执行如下操作任意次：  若 ，选择两个不同奇偶性下标（1-based）的字符删除，并将剩余字符按原顺序拼接（下标重新从 1 开始分配）。  目标是使  的字典序严格小于 ，求最少操作次数；若无法达成，输出 。  本题是二分答案 + 贪心构造 + 奇偶约束处理类型的题目，难度困难。  核心思路 核心观察  每次操作删除 1 个奇数位 + 1 个偶数位（1-based），因此：  最多可操作  次； 操作  次后，保留  个原始奇数位、 个原始偶数位。   目标函数具有单调性：若  次操作可行，则  也可...

题目描述 给定一个长度为  的整数数组  和一个正整数 。我们定义一个子数组是“和谐的”，当且仅当：  对于该子数组中出现的每一种数字，其出现次数都是  的倍数（包括 0 次，但子数组非空，故至少有一种数字出现 ≥1 次且为  的倍数）。  你的任务是：统计数组中“和谐的”非空子数组的总数。 本题是前缀哈希 + 异或状态压缩 + 随机化防冲突类型的题目，难度 中等偏上。 核心思路 核心观察   和谐子数组 ⇨ 前缀状态相等 设 prefix[i] 表示前  个元素（ 到 ）构成的状态。 若子数组  是和谐的，则对任意数字 ，其在  中的出现次数 ， 等价于：prefix[r+1] 与 pref...

题目描述 给定两个正整数  和  ，你可以选择任意正整数  ，将其同时加到  与  上，得到  与  。你的目标是使  尽可能小。请你输出能够达到的最小值。 核心思路 核心观察   差值不变性：无论  取何值，两数之差始终为  。   最大公约数（gcd）：  一定是  的约数。   最优策略：让  是  的倍数，并且尽可能小。   数论恒等式：    可得：   令 ，，则目标函数为：      特殊情况处理   当 ：  ，不能用上述方法 此时 ，所以  比值恒为     当 （即 ）：  取  则新数对为 ，比值为  这是除  外的理论最小值      算法步骤  如果  ，直接输出 1...

题目大意 给定长度为  的整数数组  和整数 ，考虑所有长度  的连续子数组，对每个子数组取其下中位数（偶数长度取两中间较小者），求这些中位数中的最大值。  下中位数定义：长度为  的序列排序后取第  个元素（1-indexed） 例如：[2,7,3,5] → 排序 [2,3,5,7] → 中位数 = 第 2 个 = 3  解题思路 核心观察  答案一定是原数组中的某个元素（因为中位数来自子数组元素） 直接枚举所有子数组不可行（ 子数组，每组排序  → 超时）  二分答案 + 判定转化 我们二分答案 ，问题转化为：  是否存在一个长度  的子数组，其中位数 ？  如何高效判定？ 构造辅助数组 ...

题目描述 英语老师布置了  篇阅读理解作业。对于若干给定的生词，老师想知道它们分别出现在了哪些短文中，以便统计查词量。 给定  篇短文与  次查询，每次给出一个单词 ，请输出  出现过的所有短文编号（按升序），若从未出现则输出空行。  本题是哈希表赢麻了的题  核心思路 核心观察  每篇短文可视为一个单词集合（因为同一单词在同一篇中重复出现只需记录一次）。 查询要求：对每个单词 ，快速找出它出现在哪些文章中。 由于 、每篇文章最多 50 个单词、总单词种类有限，可以预处理：为每篇文章建立一个哈希集合（unordered_set），用于快速判断某单词是否在该文中出现。 查询时，遍历所有文章编号 ...

本题是一个侧重于数学证明的排序贪心问题，调度优化问题  核心思路 核心观察 这是一个经典的调度优化问题。关键在于：先送哪头奶牛会影响后续奶牛的等待时间。   如果先送奶牛 A 再送奶牛 B：  奶牛 A 的等待时间 = 0（立即被送走） 奶牛 B 的等待时间 =  总毁花数 =     如果先送奶牛 B 再送奶牛 A：  总毁花数 =     要选择更优的顺序，我们需要比较： 2⋅TA⋅DBvs2⋅TB⋅DA 消去常数 2，得到比较条件：  即：当  时，应该先送 A 等价于排序规则：  但为了避免浮点数精度问题，我们使用交叉相乘的比较方式。 算法步骤  预处理：将每头奶牛的  乘以 2（因为...

本题是模板题：拓扑排序。  拓扑序是有向无环图（DAG）的一种线性排列，满足： 对于图中任意一条有向边 ，在拓扑序列中， 必须出现在  之前。  举例说明 若课程依赖关系为：  学「机器学习」前必须先学「线性代数」 学「线性代数」前必须先学「微积分」  则合法拓扑序为：微积分 → 线性代数 → 机器学习。  如果存在循环依赖（如 A→B→C→A），则无法拓扑排序。  核心思路 Kahn 算法（基于入度） 我们采用经典的 Kahn 算法，核心思想是：  不断找出“当前没有依赖”的顶点（入度为 0）  算法步骤  构建邻接表 graph 和 入度数组 indegree 初始化队列：将所有入度为 0...

题干并不清晰，所以这里重述一下： 给定三个整数 , , ，定义两个序列如下：   序列 ：     序列 ：    请你计算：  其中  表示按位异或（XOR）。 核心思路 核心观察 1.  不取模！ 题目明确说 “ 输入的东西”，因此：  即使 ，也不能写成 A[1] = a % m 只有  时才应用 % M   ⚠️ 这是本题最大陷阱！  2.  是“约数和”，不是“异或和”   是加法求和：把所有 （）加起来 最后才对所有的  做异或 不能跳过  数组直接异或 （因为异或 ≠ 加法）  3. 高效计算 ：倍数筛法 直接对每个  枚举约数需 ，太慢。 改用反向思维：  对每个  到 ， 将...

本题是经典前缀积问题。 核心思路 核心观察 定义前缀积数组 pref：  pref[0] = 1 pref[i] = (a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_i) \mod M  则区间乘积可表示为：  但 模运算中不能直接做除法！ 算法步骤   前缀积表示正确  在整数域恒成立。   模逆元合法   是质数； 题目保证 ，故 ； 因此 ，逆元存在且唯一； 费马小定理适用， 成立。    边界情况覆盖  ：，逆元为 1，结果为 ，正确； ：结果为 ，公式仍成立。    无溢出风险  使用 long long（64 位），最大中间值 ，安全。    输出格式...

本题是经典 Nim 游戏 的变种。 核心思路 核心观察 本题基于经典 Nim 游戏，其胜负由所有石子堆数量的 异或和（XOR sum） 决定：  若异或和 ，先手必胜； 若异或和 ，先手必败。  小A在游戏开始前可执行一次特殊操作：从某一堆中恰好拿走  个石子 注意不是（需满足该堆 ），之后正常开始游戏（小A仍为先手）。 关键数学性质如下：  当原始异或和为 0 时，若存在某堆  且 ，则操作后的新异或和为  由于 ，必有 ，因此该值 。 即：只要能合法执行一次  操作（ 且有堆足够大），小A就能将必败态转为必胜态。  此外：  若 ，相当于无法改变局面； 若所有堆均 ，也无法操作。  算法步...