✅ 秋招备战指南 ✅

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• 先尝试独立解题
• 对照解析查漏补缺

🧸 题面描述背景等均已深度改编，做法和题目本质基本保持一致。

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题目一：小兰的宝藏分配

1️⃣：理解几何数列的性质和分配策略

2️⃣：根据倍率m的不同值采用不同的最优策略

3️⃣：利用数学推导得出O(1)复杂度的判断方法

难度：中等

这道题目的关键在于理解几何数列的性质。当倍率m=1时，所有宝藏价值相等，采用平分策略；当m≥2时，利用几何数列后项大于前面所有项之和的性质，找到最优分配方案。通过数学分析，可以避免复杂的动态规划，直接得出答案。

题目二：小基的密码验证系统

1️⃣：分析异或运算的数学性质

2️⃣：通过固定一个变量推导出数组的必要条件

3️⃣：验证所有位置是否满足推导出的条件

难度：中等

这道题目结合了位运算和数学推理。通过固定j=1，将双重循环的条件转化为单一的线性条件a_i = k ⊕ i。关键是理解异或运算的性质，并通过数学变换简化问题。算法复杂度O(n)，效率很高。

题目三：小毛的数学魔法

1️⃣：理解因子和的数学性质

2️⃣：发现只有完全平方数的因子和为奇数

3️⃣：将问题转化为完全平方数计数的奇偶性判断

难度：中等偏难

这道题目需要深入理解数论知识。通过分析质因数分解和因子和公式，发现只有完全平方数的因子和为奇数这一关键性质。然后将复杂的求和问题转化为简单的计数问题，最终实现O(1)的高效算法。需要处理大数开方的精度问题。

01. 小兰的宝藏分配

问题描述

小兰在一次探险中发现了 种不同的宝藏（编号从 1 开始），每种宝藏各有一个。根据古老传说，这些宝藏的价值遵循特殊的规律：给定整数 以及价值表 ，其中 且对任意 有 。编号为 的宝藏价值为 。

现在小兰需要与她的好友小基平分这些宝藏（每件宝藏必须属于其中一人）。小兰作为发现者，希望自己拿到的宝藏总价值不超过小基的宝藏总价值；在满足上述条件下，小兰希望两人的总价值差尽可能小。请输出小兰最终拿到的宝藏编号（编号顺序任意）。

如果存在多个解决方案，您可以输出任意一个，系统会自动判定是否正确。注意，自测运行功能可能因此返回错误结果，请自行检查答案正确性。

输入格式

每个测试文件均包含多组测试数据。第一行输入一个整数 代表数据组数，每组测试数据描述如下：

在一行上输入两个整数，使用变量 、 指代，分别表示宝藏种类数与价值倍率。

除此之外，保证单个测试文件的 之和不超过

输出格式

对于每一组测试数据，新起一行输出：

• 第一行输出一个整数 ，表示小兰拿到的宝藏个数；

• 第二行输出 个整数，要求两两不同，表示小兰拿到的宝藏编号（顺序任意）。

当 时，第二行留空。

样例输入

2
1 2 
5 1

样例输出

0

2
1 2

样例	解释说明
样例1	当 时，价格为 ，若小兰拿走它将违反不超过条件，因此
样例2	当 时，价格全为 ，选取编号 得到 的价格，小基得到剩余 的价格，可以证明不存在更优的方案

数据范围

• 

• 

• 

• 单个测试文件的 之和不超过

题解

这道题的核心是理解几何数列的性质。设总价值 ，小兰需要选出一个子集使得子集和 且尽量接近 。

价格满足几何序列 （）。

情况1：

所有宝藏价值都是 1。取前 件即可让两人价值差最小；若 为偶数还能做到完全相等。

情况2：

几何比 时有：

因此小兰绝不可能拿走最后一件宝藏，因为单独这一件就已经超过一半。类似地，把最后一件交给小基后，前 件的总价严格不超过一半。若小兰再少拿一件，差距反而会变大，所以最佳方案就是拿走编号 到 的所有宝藏。

若 则小兰不能拿任何宝藏。

总结策略

• ：取前 件
• 且 ：取 0 件
• 且 ：取 到 号全部

算法复杂度 仅用于输出下标，逻辑判断为 。

参考代码

• Python

import sys
input = lambda: sys.stdin.readline().strip()

def solve():
    n, m = map(int, input().split())
    
    if m == 1:
        # 当m=1时，所有宝藏价值相等，取前floor(n/2)个
        cnt = n // 2
        print(cnt)
        if cnt > 0:
            res = [str(i) for i in range(1, cnt + 1)]
            print(' '.join(res))
        else:
            print()
    else:
        if n == 1:
            # 只有一个宝藏且m>1，不能取
            print(0)
            print()
        else:
            # m>1且n>1，取前n-1个宝藏
            print(n - 1)
            res = [str(i) for i in range(1, n)]
            print(' '.join(res))

t = int(input())
for _ in range(t):
    solve()

• Cpp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int t;
    cin >> t;
    
    while (t--) {
        ll n, m;
        cin >> n >> m;
        
        if (m == 1) {
            // m=1时所有宝藏价值相等
            ll cnt = n / 2;  // 取前floor(n/2)个
            cout << cnt << "\n";
            for (ll i = 1; i <= cnt; ++i) {
                if (i > 1) cout << " ";
                cout << i;
            }
            cout << "\n";
        } else {
            if (n == 1) {
                // 只有一个宝藏且价值>1，无法满足条件
                cout << "0\n\n";
            } else {
                // m>1且n>1，最优策略是取前n-1个
                cout << n - 1 << "\n";
                for (ll i = 1; i < n; ++i) {
                    if (i > 1) cout << " ";
                    cout << i;
                }
                cout << "\n";
            }
        }
    }
    
    return 0;
}

• Java

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    static PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        int testCase = Integer.parseInt(br.readLine());
        
        while (testCase-- > 0) {
            String[] parts = br.readLine().split(" ");
            long numTreasure = Long.parseLong(parts[0]);
            long multiVal = Long.parseLong(parts[1]);
            
            if (multiVal == 1) {
                // 当倍率为1时，所有宝藏价值相等
                long takeCnt = numTreasure / 2;
                out.println(takeCnt);
                
                if (takeCnt > 0) {
                    List<String> resIds = new ArrayList<>();
                    for (long i = 1; i <= takeCnt; i++) {
                        resIds.add(String.valueOf(i));
                    }
                    out.println(String.join(" ", resIds));
                } else