五一普转提Day-2

五一普转提Day-2

上午

1.线段树（分治）

主要用来解决区间存储的问题

每一个节点都对应一个区间

1.有log(n)层，最多log(n)个区间

2.有2n个节点

3.计算区间和，自下而上计算，上面一个等于下面的和

4.区间求和把几个区间找出来再加起来就可以了

5.空间要开为4倍

6.建树的代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
using namespace std;
const int maxn=1000010;
int n,m,a[maxn];
struct node{
	int sum;//区间和
	int size;//区间长度 
	void init(int v){
		sum=v;
		size=1;
	}
}z[maxn<<2];//注意，大小要开4倍大小！ 
node operator+(const node &l,const node &r){
	node res;
	res.sum=l.sum+r.sum;
	res.size=l.size+r.size;
}
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define root 1,n,1
void build(int l,int r,int rt)//建树 编号为rt的线段树节点所对应的区间是l~r 
{
	if(l==r){
		z[rt].init(a[l]);
		return;
	}
	int m=(l+r)>>1;
	build(lson);
	build(rson);
	z[rt]=z[rt<<1]+z[rt<<1|1];//合并 
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	build(root); 
	return 0;
}

7.懒标记

被整体加了n但没有告诉它的儿子，直到询问它的儿子时才会告诉它们(标记下放)

8.完整代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define root 1,n,1
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
const int maxn=100010;

int n,m,a[maxn];

struct node{ //一个线段树节点 
    int sum; //代表区间和
    int size; //代表区间长度 
    int add; //这段区间被整体加了多少
    node(){sum = size = add = 0;} 
    void init(int v){ //用一个数初始化 
        sum = v;
        size = 1;
    }
}z[maxn<<2]; //z[i]就代表线段树的第i个节点 

node operator+(const node &l,const node &r){
    node res;
    res.sum = l.sum + r.sum;
    res.size = l.size + r.size;
    return res;
}

void color(int l,int r,int rt,int v){ //给l,r,rt这个节点打一个+v的懒标记
    z[rt].add += v;
    z[rt].sum += z[rt].size * v;
} 

void push_col(int l,int r,int rt){ //标记下放 把标记告诉儿子
    if(z[rt].add == 0) return; //没标记 不需要下放
    int m=(l+r)>>1;
    color(lson,z[rt].add);
    color(rson,z[rt].add);
    z[rt].add=0;
} 

void build(int l,int r,int rt){ //建树 初始化l,r,rt这个节点
    if(l==r){
        z[rt].init(a[l]);
        return;
    } 
    int m=(l+r)>>1;
    build(lson);
    build(rson);
    z[rt] = z[rt<<1] + z[rt<<1|1]; 
}

node query(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr){
    if(nowl<=l && r<=nowr) return z[rt];
    push_col(l,r,rt);
    int m=(l+r)>>1;
    if(nowl<=m){
        if(m<nowr) return query(lson,nowl,nowr)+query(rson,nowl,nowr);
        else return query(lson,nowl,nowr);
    }
    else return query(rson,nowl,nowr);
}

void modify(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr,int v){ //区间修改
    if(nowl<=l && r<=nowr){
        color(l,r,rt,v);
        return; 
    } 
    push_col(l,r,rt);
    int m=(l+r)>>1;
    if(nowl<=m) modify(lson,nowl,nowr,v);
    if(m<nowr) modify(rson,nowl,nowr,v);
    z[rt] = z[rt<<1] + z[rt<<1|1];
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    build(root);
    cin>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int opt;
        cin>>opt;
        if(opt==1){ //询问
            int l,r;
            cin>>l>>r;
            cout<<query(root,l,r).sum<<"\n";
        } 
        else{ //修改
            int l,r,v;
            cin>>l>>r>>v;
            modify(root,l,r,v);
        }
    }
    return 0;
}

9.T1 求区间内相邻两数之差的绝对值的和

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define root 1,n,1
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
const int maxn=100010;

int n,m,a[maxn];

struct node//一个线段树节点 
{
    int sum;//代表区间相邻两数差的绝对值的和 
    int lv;//最左边的数是多少
    int rv;//最右边的数是多少 
    int add;//这段区间被整体加了多少
    int size;//区间长度
    node()
    {
        sum = add = 0;
    } 
    void init(int v)//用一个数初始化 
    {
        sum = 0;
        lv = rv = v;
        size = 1;
    }
}z[maxn<<2];//z[i]就代表线段树的第i个节点 

node operator+(const node &l,const node &r)
{
    node res;
    res.sum = l.sum + r.sum + abs(l.rv - r.lv);
    res.lv = l.lv;
    res.rv = r.rv;
    res.size = l.size + r.size;
    return res;
}

void color(int l,int r,int rt,int v)//给l,r,rt这个节点打一个+v的懒标记
{
    z[rt].add += v;
    z[rt].lv += v;
    z[rt].rv += v;
} 

void push_col(int l,int r,int rt)//标记下放 把标记告诉儿子
{
    if(z[rt].add == 0) return; //没标记 不需要下放  可以不要这句话 但会慢些 
    int m=(l+r)>>1;
    color(lson,z[rt].add);
    color(rson,z[rt].add);
    z[rt].add=0;
} 

void build(int l,int r,int rt)//建树 初始化l,r,rt这个节点 
//编号为rt的线段树节点 所对应的区间是l~r 
{
    if(l==r)
    {
        z[rt].init(a[l]);
        return;
    } 
    int m=(l+r)>>1;
    build(lson);
    build(rson);
    z[rt] = z[rt<<1] + z[rt<<1|1]; 
}

node query(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr)
//l,r,rt描述了一个线段树节点
//nowl nowr代表了询问的区间的左端点和右端点 
{
    if(nowl<=l && r<=nowr) return z[rt];
    push_col(l,r,rt);
    int m=(l+r)>>1;
    if(nowl<=m)
    {
        if(m<nowr) return query(lson,nowl,nowr)+query(rson,nowl,nowr);
        else return query(lson,nowl,nowr);
    }
    else return query(rson,nowl,nowr);
}

void modify(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr,int v)
//把nowl~nowr这段区间全部整体+v 
{
    if(nowl<=l && r<=nowr)//当前线段树节点被修改区间整体包含
    {
        color(l,r,rt,v);//给l,r,rt这个节点打一个+v的懒标记
        return; 
    } 
    push_col(l,r,rt);
    int m=(l+r)>>1;
    if(nowl<=m) modify(lson,nowl,nowr,v);
    if(m<nowr) modify(rson,nowl,nowr,v);
    z[rt] = z[rt<<1] + z[rt<<1|1];
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    build(root);
    cin>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int opt;
        cin>>opt;
        if(opt==1)//询问
        {
            int l,r;
            cin>>l>>r;
            cout<<query(root,l,r).sum<<"\n";
        } 
        else
        {
            int l,r,v;
            cin>>l>>r>>v;
            modify(root,l,r,v);
        }
    }
    return 0;
}

10.T2 求区间内各数的平方和

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define root 1,n,1
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
const int maxn=100010;

int n,m,a[maxn];

struct node//一个线段树节点 
{
    int sum;//代表区间和
    int sum2;//代表区间平方和 
    int size;//代表区间长度 
    int add;//这段区间被整体加了多少
    node()
    {
        sum = size = add = 0;
    } 
    void init(int v)//用一个数初始化 
    {
        sum = v;
        sum2 = v*v;
        size = 1;
    }
}z[maxn<<2];//z[i]就代表线段树的第i个节点 

node operator+(const node &l,const node &r)
{
    node res;
    res.sum2 = l.sum2 + r.sum2;
    res.sum = l.sum + r.sum;
    res.size = l.size + r.size;
    return res;
}

void color(int l,int r,int rt,int v)//给l,r,rt这个节点打一个+v的懒标记
{
    z[rt].add += v;
    z[rt].sum2 = z[rt].sum2 + 2*v*z[rt].sum + z[rt].size*v*v;
    z[rt].sum += z[rt].size*v;
} 

void push_col(int l,int r,int rt)//标记下放 把标记告诉儿子
{
    if(z[rt].add == 0) return; //没标记 不需要下放  可以不要这句话 但会慢些 
    int m=(l+r)>>1;
    color(lson,z[rt].add);
    color(rson,z[rt].add);
    z[rt].add=0;
} 

void build(int l,int r,int rt)//建树 初始化l,r,rt这个节点 
{
    if(l==r)
    {
        z[rt].init(a[l]);
        return;
    } 
    int m=(l+r)>>1;
    build(lson);
    build(rson);
    z[rt] = z[rt<<1] + z[rt<<1|1]; 
}

node query(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr)
{
    if(nowl<=l && r<=nowr) return z[rt];
    push_col(l,r,rt);
    int m=(l+r)>>1;
    if(nowl<=m)
    {
        if(m<nowr) return query(lson,nowl,nowr)+query(rson,nowl,nowr);
        else return query(lson,nowl,nowr);
    }
    else return query(rson,nowl,nowr);
}

void modify(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr,int v)
{
    if(nowl<=l && r<=nowr)
    {
        color(l,r,rt,v);
        return; 
    } 
    push_col(l,r,rt);
    int m=(l+r)>>1;
    if(nowl<=m) modify(lson,nowl,nowr,v);
    if(m<nowr) modify(rson,nowl,nowr,v);
    z[rt] = z[rt<<1] + z[rt<<1|1];
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    build(root);
    cin>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int opt;
        cin>>opt;
        if(opt==1)
        {
            int l,r;
            cin>>l>>r;
            cout<<query(root,l,r).sum<<"\n";
        } 
        else
        {
            int l,r,v;
            cin>>l>>r>>v;
            modify(root,l,r,v);
        }
    }
    return 0;
}

11.线段树2

2种操作:2种标记，顺序用好用的那一种

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define root 1,n,1
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
const int maxn=100010;

int n,m,a[maxn];

struct node//一个线段树节点 
{
    int sum;//代表区间和
    int size;//代表区间长度 
    int add;
    int mul;
    //x*mul+add 
    node()
    {
        sum = size = add = 0;
        mul = 1; 
    } 
    void init(int v)//用一个数初始化 
    {
        sum = v;
        size = 1;
    }
}z[maxn<<2];//z[i]就代表线段树的第i个节点 

node operator+(const node &l,const node &r)
{
    node res;
    res.sum = l.sum + r.sum;
    res.size = l.size + r.size;
    return res;
}

void color(int l,int r,int rt,int mul,int add)//给l,r,rt这个节点打一个*mul+add的懒标记 
{
    z[rt].mul *= mul;
    z[rt].add = z[rt].add * mul + add;
    z[rt].sum = z[rt].sum * mul + add * z[rt].size;
} 

void push_col(int l,int r,int rt)//标记下放 把标记告诉儿子
{
    if(z[rt].mul == 1 && z[rt].add == 0) return; //没标记 不需要下放
    int m=(l+r)>>1;
    color(lson,z[rt].mul,z[rt].add);
    color(rson,z[rt].mul,z[rt].add);
    z[rt].mul=1;z[rt].add=0;
} 

void build(int l,int r,int rt)//建树 初始化l,r,rt这个节点
{
    if(l==r)
    {
        z[rt].init(a[l]);
        return;
    } 
    int m=(l+r)>>1;
    build(lson);
    build(rson);
    z[rt] = z[rt<<1] + z[rt<<1|1]; 
}

node query(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr)
{
    if(nowl<=l && r<=nowr) return z[rt];
    push_col(l,r,rt);
    int m=(l+r)>>1;
    if(nowl<=m)
    {
        if(m<nowr) return query(lson,nowl,nowr)+query(rson,nowl,nowr);
        else return query(lson,nowl,nowr);
    }
    else return query(rson,nowl,nowr);
}

void modify(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr,int mul,int add)
{
    if(nowl<=l && r<=nowr)
    {
        color(l,r,rt,mul,add);
        return; 
    } 
    push_col(l,r,rt);
    int m=(l+r)>>1;
    if(nowl<=m) modify(lson,nowl,nowr,mul,add);
    if(m<nowr) modify(rson,nowl,nowr,mul,add);
    z[rt] = z[rt<<1] + z[rt<<1|1];
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    build(root);
    cin>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int opt;
        cin>>opt;
        if(opt==1)//询问
        {
            int l,r;
            cin>>l>>r;
            cout<<query(root,l,r).sum<<"\n";
        } 
        else//修改
        {
            int l,r,mul,add;
            cin>>l>>r>>mul>>add;
            modify(root,l,r,mul,add);
        }
    }
    return 0;
}

12.线段树2.5

3种操作:3种标记，顺序用好用的那一种

13.更麻烦的东西

14.减小时间.

(x+y)%z→(1ll*x+1ll*y)%z

(b+c*d)%e→(b+1ll*c*d)%e

(b*c*d+e*f*g)%h→(1ll*b*c%h+1ll*e*f+g)%h

(a+b)%c→a+=bif(a>=c) a-=c

(b*c-d*e)%g=((1ll*b*c-d*e)%g+g)%g

15.求l~r之间和最大的一个子段

我就不写代码了(手有点懒了)

16.SP2916

17.SP2713

18.5824

19.3954

20.区间等差数列

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define root 1,n,1
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

const int maxn=100010;

int n,m,a[maxn];

struct node//一个线段树节点 
{
	int sum;//代表区间和
	int size;//代表区间长度 
	int x,y;//给这段区间加上了一个首项为x 公差为y的等差数列 
	node()
	{
		sum = size = x = y = 0;
	} 
	void init(int v)//用一个数初始化 
	{
		sum = v;
		size = 1;
	}
}z[maxn<<2];//z[i]就代表线段树的第i个节点 

node operator+(const node &l,const node &r)
{
	node res;
	
	res.sum = l.sum + r.sum;
	res.size = l.size + r.size;
	
	return res;
}

void color(int l,int r,int rt,int x, int y)//给l,r,rt这个节点加上一个首项为x公差为y的等差数列 
{
	z[rt].x+=x;
	z[rt].y+=y;
	z[rt].sum+=(x+x+(size-1)*y)*size/2;
} 

void push_col(int l,int r,int rt)//标记下放 把标记告诉儿子
{
	if (z[rt].x == 0 && z[rt].y == 0) return; //没标记 不需要下放  可以不要这句话 但会慢些 
	int m=(l+r)>>1;
	color(lson,z[rt].x,z[rt].y);
	color(rson,z[rt].x + z[rt<<1].size * y,z[rt].y);
	z[rt].x=z[rt].y=0;
} 

void build(int l,int r,int rt)//建树 初始化l,r,rt这个节点 
//编号为rt的线段树节点 所对应的区间是l~r 
{
	if (l==r)
	{
		z[rt].init(a[l]);
		return;
	} 
	int m=(l+r) >> 1;
	build(lson);
	build(rson);
	z[rt] = z[rt<<1] + z[rt<<1|1]; 
}

node query(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr)
//l,r,rt描述了一个线段树节点
//nowl nowr代表了询问的区间的左端点和右端点 
{
	if (nowl <= l && r <= nowr) return z[rt];
	push_col(l,r,rt);
	int m=(l+r)>>1;
	if (nowl<=m)
	{
		if (m<nowr) return query(lson,nowl,nowr) + query(rson,nowl,nowr);
		else return query(lson,nowl,nowr);
	}
	else return query(rson,nowl,nowr);
}

void modify(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr,int v)
//把nowl~nowr这段区间全部整体+v 
{
	if (nowl<=l && r<=nowr)//当前线段树节点被修改区间整体包含
	{
		color(l,r,rt,v);//给l,r,rt这个节点打一个+v的懒标记
		return; 
	} 
	push_col(l,r,rt);
	int m=(l+r)>>1;
	if (nowl<=m) modify(lson,nowl,nowr,v);
	if (m<nowr) modify(rson,nowl,nowr,v);
	z[rt] = z[rt<<1] + z[rt<<1|1];
}

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		cin >> a[i];
	build(root);
	cin >> m;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int opt;
		cin >> opt;
		if (opt==1)//询问
		{
			int l,r;
			cin >> l >> r;
			cout << query(root,l,r).sum << "\n";
		} 
		else
		{
			int l,r,v;
			cin >> l >> r >> v;
			modify(root,l,r,v);
		}
	}
		
	return 0;
}

下午

21.求区间最多逆序对P3333

2.可持久化线段树

1.可以通过连接与前一时刻相同的部分，更改不同的部分，形成一棵完整的线段树。(每一个线段树只需要log(n)的时间新建一棵线段树) )

2.可持久化线段树模板代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
int cnt;//总共有多少个节点 
struct node
{
	int l,r;//左儿子 右儿子编号 
	int sum;//区间和 
	node(){
		l=r=sum=0;
	}
}z[maxn*logn];

void update(int p)
{
	z[p].sum = z[z[p].l].sum + z[z[p].r].sum;
}

int build(int l,int r)//当前的区间为l~r 是这段区间对应的节点编号 
{
	cnt++;
	int p=cnt;
	if (l==r)
	{
		z[p].sum = a[l];
		return p;
	}
	int m=(l+r)>>1;
	z[p].l = build(l,m);
	z[p].r = build(m+1,r);
	update(p);
	return p;
}

int query(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr)
//当前线段树节点编号为rt 对应的区间为l~r 要询问nowl~nowr这段区间的和
{
	if (nowl <= l && r <= nowr) return z[rt].sum;
	int m=(l+r)>>1;
	if (nowl<=m)
	{
		if (m<nowr) return query(l,m,z[rt].l,nowl,nowr) + query(m+1,r,z[rt].r,nowl,nowr);
		else return query(l,m,z[rt].l,nowl,nowr);
	}
	else return query(m+1,r,z[rt].r,nowl,nowr);
} 

int modify(int l,int r,int rt,int p,int v)//返回修改后的新节点编号 
//当前线段树节点编号为rt 对应的区间为l~r 要把a[p]+=v 
{
	cnt++;int q = cnt;//新的节点q用于修改
	z[q] = z[rt]; 
	if (l==r)
	{
		z[q].sum += v;
		return q;
	}
	int m=(l+r)>>1;
	if (p<=m)//在左儿子
		z[q].l = modify(l,m,z[q].l,p,v);
	else 
		z[q].r = modify(m+1,r,z[q].r,p,v);
	update(q);
	return q;
}

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		cin >> a[i];
	cin >> m;
	root[0] = build(1,n);//root[i]代表第i次操作后的根节点是谁
	for (int i=1;i<=m;i++) 
	{
		int opt;
		cin >> opt;
		if (opt==1)
		{
			int p,v;
			cin >> p >> v;
			root[i] = modify(1,n,root[i-1],p,v);
		}
		else
		{
			int k,l,r;
			cin >> k >> l >> r;
			cout << query(1,n,root[k],l,r) << "\n";
			root[i] = root[i-1];
		}
	}
	
	return 0;
}

3.5818

4.主席树

模板代码:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
int cnt;//总共有多少个节点 
struct node
{
	int l,r;//左儿子 右儿子编号 
	int sum;//区间和 
	node(){
		l=r=sum=0;
	}
}z[maxn*logn];

void update(int p)
{
	z[p].sum = z[z[p].l].sum + z[z[p].r].sum;
}

int query(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr)
//当前线段树节点编号为rt 对应的区间为l~r 要询问nowl~nowr这段区间的和
{
	if (nowl <= l && r <= nowr) return z[rt].sum;
	int m=(l+r)>>1;
	if (nowl<=m)
	{
		if (m<nowr) return query(l,m,z[rt].l,nowl,nowr) + query(m+1,r,z[rt].r,nowl,nowr);
		else return query(l,m,z[rt].l,nowl,nowr);
	}
	else return query(m+1,r,z[rt].r,nowl,nowr);
} 

int modify(int l,int r,int rt,int p,int v)//返回修改后的新节点编号 
//当前线段树节点编号为rt 对应的区间为l~r 要把a[p]+=v 
{
	cnt++;int q = cnt;//新的节点q用于修改
	z[q] = z[rt]; 
	if (l==r)
	{
		z[q].sum += v;
		return q;
	}
	int m=(l+r)>>1;
	if (p<=m)//在左儿子
		z[q].l = modify(l,m,z[q].l,p,v);
	else 
		z[q].r = modify(m+1,r,z[q].r,p,v);
	update(q);
	return q;
}

int query(int p1,int p2,int l,int r,int k)
//当前对应的值域范围为l~r
//要询问第k小的数
//需要用p1和p2这两颗线段树来询问 
{
	if (l==r) return l;
	int m=(l+r)>>1;
	if (z[z[p2].l].sum - z[z[p1].l].sum >= k) return query(z[p1].l,z[p2].l,l,m,k);
	//z[z[p2].l].sum - z[z[p1].l].sum代表aL~aR有多少个数在[l,m]之间 
	else return query(z[p1].r,z[p2].r,m+1,r,k-(z[z[p2].l].sum - z[z[p1].l].sum));
}

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		cin >> a[i];
	root[0] = 0;
	//root[i] 代表a1~ai这些数所对应的值域线段树的根 
	//值域范围是1~maxv 
	for (int i=1;i<=n;i++)
		root[i] = modify(1,maxv,root[i-1],a[i],1);
	cin >> m;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int l,r,k;
		cin >> l >> r >> k;
		cout << query(root[l-1],root[r],1,maxv,k) << "\n";
	}
	
	return 0;
}

5.

方法:根号分治(分块)

6.4467(只是看了一眼题目，没讲)

7.P3251

3.已完成作业:

1

2

3

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