华为OD统一考试- 5G网络建设

题目描述

现需要在某城市进行5G网络建设，已经选取N个地点设置5G基站，编号固定为1到N，接下来需要各个基站之间使用光纤进行连接以确保基站能互联互通，不同基站之间架设光纤的成本各不相同，且有些节点之间已经存在光纤相连。

请你设计算法，计算出能联通这些基站的最小成本是多少。

注意：基站的联通具有传递性，比如基站A与基站B架设了光纤，基站B与基站C也架设了光纤，则基站A与基站C视为可以互相联通。

输入描述

第一行输入表示基站的个数N，其中：

• 0 < N ≤ 20

第二行输入表示具备光纤直连条件的基站对的数目M，其中：

• 0 < M < N * (N - 1) / 2

从第三行开始连续输入M行数据，格式为

X Y Z P

其中：

X，Y 表示基站的编号

• 0 < X ≤ N
• 0 < Y ≤ N
• X ≠ Y

Z 表示在 X、Y之间架设光纤的成本

• 0 < Z < 100

P 表示是否已存在光纤连接，0 表示未连接，1表示已连接

输出描述

如果给定条件，可以建设成功互联互通的5G网络，则输出最小的建设成本

如果给定条件，无法建设成功互联互通的5G网络，则输出 -1

用例

题目解析

（下图中，虚线代表节点之间可以铺设光纤，但是还没有铺设，实线表示已经铺好了）

用例1图示

用例2图示

用例3图示

本题是经典的最小生成树问题

生成树概念

而在了解最小生成树概念前，我们需要先了解生成树的概念：

在无向连通图中，生成树是指包含了全部顶点的极小连通子图。

生成树包含原图全部的n个顶点和n-1条边。（注意，边的数量一定是n-1）

比如下面无向连通图例子：

根据生成树概念，我们可以基于上面无向连通图，产生多个生成树，下面举几个生成树例子：

如上图我们用n-1条橙色边连接了n个顶点。这样就从无向连通图中产生了生成树。

为什么生成树只能由n-1条边呢？

因为少一条边，则生成树就无法包含所有顶点。多一条边，则生成树就会形成环。

而生成树最重要的两个特性就是：

1、包含所有顶点

2、无环

最小生成树概念

了解了生成树概念后，我们就可以进一步学习最小生成树了。

我们回头看看无向连通图，可以发现每条边都有权重值，比如v1-v2权重值是6，v3-v6权重值是4。

最小生成树指的是，生成树中n-1条边的权重值之和最小。

那么如何才能准确的找出一个无向连通图的最小生成树呢？

有两种算法：Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法是基于顶点找最小生成树。Kruskal是基于边找最小生成树。

Prim算法

首先，我们介绍Prim算法：

我们可以选择无向连通图中的任意一个顶点作为起始点，比如我们选v1顶点为起始点

从v1顶点出发，有三条边，我们选择权重最小的1，即将v1-v3相连

此时我们需要将v1-v3看成一个整体，然后继续找这个整体出发的所有边里面的最小的， 

 可以发现为最小权重为4，因此，将v3-v6相连

接着将v1-v3-v6看出一个整体，找这个整体出发的所有边里面的最小的，可以找到最小权重2，因此将v6-v4相连

但是接下来，我们会发现，从v1-v3-v6-v4整体出发的所有边里面同时有三个最小权重5，那么该如何选择呢？

其实不难看出，如果选择v4-v3，或者v4-v1相连，则对应的生成树就形成了环结构，因此就不符合生成树特性了，因此我们只能选择v3-v2。

（注意：如果有多个相同的最小权重边可选，并且都不会产生环结构，则可以选择其中任意一条边，最终得到结果都是最小生成树） 

 其实，不仅仅在上面遇到相同权重边时，需要判断是否形成环，在前选择每一条边时都需要判断是否形成环，一旦选择的边能够形成环，那么我们就应该舍弃它，选择第二小的权重边，并继续判断。

按照上面逻辑，我们可以继续找到v1-v2-v3-v4-v6整体出发所有边中的最小权重边3，即将v2-v5相连，并且连接后不会形成环

此时选择的边数已经达到了n-1条，因此可以结束逻辑，而现在得到的就是最小生成树。我们可以将这个最小生成数的所有边的权重值之和计算出来为15。 

上面这种基于顶点的找最小生成树的方式就是Prim算法。

关于Prim算法具体实现细节请看代码实现，已添加详细注释。

Kruskal算法

接下来介绍Kruskal算法：

Kruskal算法要求我们将所有的边按照权重值升序排序，因此可得：

首先，我们将权重最小的边v1-v3加入，得到下图

接着将下个最小权重2的边v4-v6加入 

接着继续加最小权重边

此时边数已经达到n-1，而刚好这个过程中也没有环的形成，因此得到的就是最小生成树。

但是这里有巧合因素在里面，因为最后一步中，最小权重5的边有多条，如果并不是v2-v3排在前面呢，比如是v1-v4呢？

可以发现，形成了环，因此我们应该舍弃这条边，继续找剩下的最小权重边。最后总能找到v2-v3。

那么判断环的存在就是实现上面Prim算法和Kruskal算法的关键点！

其实，生成树就是一个连通分量，初始时，生成树这个连通分量只有一个顶点（Prim），或者两个顶点（Kruskal），后面会不断合入新的顶点进来，来扩大连通分量范围。

而连通分量可以使用并查集表示，

并查集本质就是一个长度为n的数组（n为无向图的顶点数），数组索引值代表图中某个顶点child，数组索引指向的元素值，代表child顶点的祖先顶点father。

初始时，每个child的father都是自己。即初始时，默认有n个连通分量。

比如 arr = [1,1,1,5,5,5] 数组就可以模拟出一个无向图

• 0顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值）  
• 1顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值） 
• 2顶点（索引值）的祖