题解 | #Almost Correct#

(Java)

M题 （补题，思路源自于出题人题解）

题目为喝水x，两杯水可以有和，也可以有差，问至少几次操作。有x' +A,+B,+(A-B),+(B-A)，四种喝水情况，最优解显然为固定整数AB经过至少r,s构成x

有rA+sB=gcd（A，B）（r＞=0或s＞=0.gcd＞=1）

（裴蜀定理）（若gcd不整除x，则无解（x=-1））

（可以以扩展欧几里得法求r，s）

若rs＞0，则为2（r+s），因为倒水喝水各一次操作

若rs＜0，设其中的r＞0，s＜0，意味着rA＞sB（rA-|s|B＞=1），那么r次倒水A并s次倒掉水b，且由于严格大于，次数还可减一，A杯余水小于b时可以省去s次操作，同样A（正数）倒水喝水各一次操作

故为2(r-s)-1

推广开，则为2|r-s|-1

然后从原点开始搜索A,B,由欧几里得算法，每组复杂度logx

（提解说次数求2|r-s|-1和2（r+s）的最大值，但rs都正时右边必大，存在负时左边必大，个人感觉没有必要求max）

扩展欧几里得法：由a，b时，a=0，b=gcd，gcd=0a+1b反推x，y

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static long inf = (long) 1e18;

    public static void exgcd(long a, long b, long[] res) {
        if (b == 0) {
            res[0] = a;
            res[1] = 1;
            res[2] = 0;
        } else {
            exgcd(b, a % b, res);
            long x = res[1];
            long y = res[2];
            res[1] = y;
            res[2] = x - (a / b) * y;
        }
    }

    public static long wk(Scanner scanner) {
        long a = scanner.nextLong();
        long b = scanner.nextLong();
        long c = scanner.nextLong();

        long[] res = new long[3];
        exgcd(a, b, res);
        long g = res[0];
        long x = res[1];
        long y = res[2];

        if (c % g != 0) {
            return -1;
        }

        a /= g;
        b /= g;
        c /= g;
        x *= c;
        y *= c;

        long ans = inf;

        // 附近找最小值
        long t0 = -x / b;
        for (long t = t0 - 1; t <= t0 + 1; ++t) {
            ans = wkHelper(t, a, b, x, y, ans);
        }

        t0 = y / a;
        for (long t = t0 - 1; t <= t0 + 1; ++t) {
            ans = wkHelper(t, a, b, x, y, ans);
        }
        return ans == inf ? -1 : ans;
    }

    private static long wkHelper(long t, long a, long b, long x, long y, long ans) {
        long r = x + b * t;
        long s = y - a * t;
        if (r >= 0 && s >= 0) {
            ans = Math.min(ans, 2 * (r + s));
        } else {
            ans = Math.min(ans, 2 * (Math.abs(r) + Math.abs(s)) - 1);
        }
        return ans;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int T = scanner.nextInt();

        while (T-- >= 0) {
            System.out.println(wk(scanner));
        }

        scanner.close();
    }
}