2022-09-17 16:03 已编辑河南理工大学 Java 发布于河南

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扩展欧几里得算法

1、思路

裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：

若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y，ax+by=m中的m一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)

它的一个重要推论是：a,b互质的充分必要条件是存在整数x,y使ax+by=1.

那么贝祖定理的一个直接应用就是：如果ax+by=1有解，那么gcd(a,b)=1（将原公式两边同时除以gcd(a,b)）。

扩展欧几里得算法用来解决这样一个问题：

给定两个非零的整数a和b，求一组整数解（x，y）使得ax+by = gcd(a,b)成立，其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数。（其中我们通过前面的贝祖定理可知解一定存在）
回忆我们知道的欧几里得算法，它总是把gcd(a,b)转化为求解gcd(b,a%b)，而当b变为0时返回a，此时的a就等于gcd。

也就是说，欧几里得算法结束时变量a中存放的是gcd，变量b中存放的是0，因此此时显然有a × 1 + b × 0 = gcd成立，此时有x=1、y=0成立。
我们不妨利用上面的欧几里得算法的过程来计算x和y。目前已知的是递归边界成立时为x=1、y=0，需要想办法反推出最初始的x和y。

(1)用于求解方程 $ax+by=gcd(a,b)$ 的解,

当b=0时， $ax+by=a$ ，可以得到x=1，y=0

当b不为0时，

已知

$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$

对于a%b，有，（式子中为整除）

$amodb=a-⌊\frac{a}{b}⌋*b$

递归到下一层，有：

$bx^{'}+(amodb)y^{'}=gcd(b,amodb)$

$bx^{'}+(a-⌊\frac{a}{b}⌋*b)y^{'}=gcd(b,amodb)$

$ay^{'}+b(x^{'}-⌊\frac{a}{b}⌋y^{'})=ax+by$

可得,

$x=y^{'}$

$y=x^{'}-⌊\frac{a}{b}⌋y^{'}$

(2)对于求解一般方程ax+by=c

设d=gcd(a,b)，则其有解当且仅当 d|c（d能整除c，即c是d的倍数）

求解方法如下:
用扩展欧几里得求出 $ax_{0}+by_{0}=d$ 的解

a(x0∗c/d)+b(y0∗c/d)=c

则有

$a(x_{0}*\frac{c}{d})+b(y_{0}*\frac{c}{d})=c$
对比式子ax+by=c，我们可以得到一个特解

$x^{'}=x_{0}*\frac{c}{d}$

$y^{0}=y_{0}*\frac{c}{d}$

而通解 = 特解 + 齐次解

齐次解为方程ax+by=0的解

则方程的通解为:

$x=x^{'}+\frac{b}{d}*k$

$y=y^{'}-\frac{a}{d}*k$ $(k\in Z)$

(3)求解一次同余方程ax≡b(mod m)

对于b%m，我们可以转化成

$m*(-y)+b$

那么原式就可以化为

$ax=m*(-y)+b$

$ax+my=b$

有解条件为 gcd(a,m)|b，然后用扩展欧几里得求解
特别的当 b=1且 a与m互质时则所求的x即为a的逆元

2、代码模板：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
/*
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//返回gcd(a,b) 并求出解(引用带回)
{
    //欧几里得算法结束时，变量a中存放的是gcd，变量b中存放的是0，因此此时显然有a × 1 + b × 0 = gcd成立。
    if(!b)//当b为0时,它总是把gcd(a,b)转化为求解gcd(b,a%b)，而当b变为0时返回a，此时的a就等于gcd。
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int x1,y1;
    int d=exgcd(b,a%b,x1,y1);//递归求最大公约数, 求完后d就是最大公约数，
    x=y1;
    y=x1-a/b*y1;
    return d;
}
*/
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//返回gcd(a,b) 并求出解(引用带回)
{
    //欧几里得算法结束时，变量a中存放的是gcd，变量b中存放的是0，因此此时显然有a × 1 + b × 0 = gcd成立。
    if(!b)//当b为0时,它总是把gcd(a,b)转化为求解gcd(b,a%b)，而当b变为0时返回a，此时的a就等于gcd。
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);//递归求最大公约数, 求完后d就是最大公约数，
    y-=(a/b)*x;//公式是y1=x2-(a/b)*y2,由x1=y2转化为 y1=x2-(a/b)*x,又由x2为y1,所有化简为y-=(a/b)*x
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        int a,b,x,y;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        exgcd(a,b,x,y);
        printf("%d %d\n",x,y);
    }
    return 0;
}