最小生成树
1. 概览
2. 算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
4.算法代码实现(未检验)
#define MAX 100000
#define VNUM 10+1 //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10
int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};
int lowcost[VNUM]={0}; //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边
int addvnew[VNUM]; //标记某点是否加入Vnew
int adjecent[VNUM]={0}; //记录V中与Vnew最邻近的点
void prim(int start)
{
int sumweight=0;
int i,j,k=0;
for(i=1;i<VNUM;i++) //顶点是从1开始
{
lowcost[i]=edge[start][i];
addvnew[i]=-1; //将所有点至于Vnew之外,V之内，这里只要对应的为-1，就表示在Vnew之外
}
addvnew[start]=0; //将起始点start加入Vnew
adjecent[start]=start;
for(i=1;i<VNUM-1;i++)
{
int min=MAX;
int v=-1;
for(j=1;j<VNUM;j++)
{
if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min) //在Vnew之外寻找最短路径
{
min=lowcost[j];
v=j;
}
}
if(v!=-1)
{
printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);
addvnew[v]=0; //将v加Vnew中
sumweight+=lowcost[v]; //计算路径长度之和
for(j=1;j<VNUM;j++)
{
if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])
{
lowcost[j]=edge[v][j]; //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost
adjecent[j]=v;
}
}
}
}
printf("the minmum weight is %d",sumweight);
5. 时间复杂度
这里记顶点数v，边数e
1. 概览
2. 算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
3.简单证明Kruskal算法
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。
4.代码算法实现
typedef struct
{
char vertex[VertexNum]; //顶点表
int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表
int n,e; //图中当前的顶点数和边数
}MGraph;
typedef struct node
{
int u; //边的起始顶点
int v; //边的终止顶点
int w; //边的权值
}Edge;
void kruskal(MGraph G)
{
int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;
int vset[VertexNum]; //辅助数组，判定两个顶点是否连通
int E[EdgeNum]; //存放所有的边
k=0; //E数组的下标从0开始
for (i=0;i<G.n;i++)
{
for (j=0;j<G.n;j++)
{
if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)
{
E[k].u=i;
E[k].v=j;
E[k].w=G.edges[i][j];
k++;
}
}
}
heapsort(E,k,sizeof(E[0])); //堆排序，按权值从小到大排列
for (i=0;i<G.n;i++) //初始化辅助数组
{
vset[i]=i;
}
k=1; //生成的边数，最后要刚好为总边数
j=0; //E中的下标
while (k<G.n)
{
sn1=vset[E[j].u];
sn2=vset[E[j].v]; //得到两顶点属于的集合编号
if (sn1!=sn2) //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树
{
printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);
k++;
for (i=0;i<G.n;i++)
{
if (vset[i]==sn2)
{
vset[i]=sn1;
}
}
}
j++;
}
}
时间复杂度：elog2e e为图中的边数
吓得我不敢去外包了，但是目前也只有外包这一个实习，我还要继续去吗