题解 | #连续子数组的最大和#

题目陈述

题目大意：给定一个有正数有负数的数组，求解连续的一段的元素的和的最大值

算法1：暴力做法

算法思路

• 枚举左右端点，然后计算这个区间的总和now，跟ans比较，如果比ans大，则更新ans，最后循环结束返回ans

• 时间复杂度，空间复杂度

  代码实现

  class Solution
  {
  public:
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array)
    {
        int ans = INT_MIN;
        int len = array.size();
        for (int i = 0; i < len; i++)//枚举左端点
        {
            for (int j = i; j < len; j++)//枚举右端
            {
                int now = 0;
                for (int k = i; k <= j; k++)//计算区间和
                {
                    now += array[k];
                }
                ans = max(now, ans);//更新ans
            }
        }
        return ans;
    }
  };

  算法2：前缀和优化

  算法思路

• 我们发现上面的过程中，会重复计算很多的子区间的总和，所以我们用前缀和优化，

• 第一个数到第j个数的和，减去第一个数到第i-1个数的和，即得到第i个数到第j个数的和，即

• 时间复杂度，空间复杂度（因为定义了一个sum数组）

  代码实现

  class Solution{
  public:
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array)
    {
  
        int ans=INT_MIN;
        int len = array.size();
        vector<int> sum(len+1,0);
        //sum[0]设为空集，
        //sum[i+1]设为array[0,i]的和，其中i=0~len-1
        //约定array[-1]==0为空集
        for(int i=0;i<len;i++){
            sum[i+1]=sum[i]+array[i];//计算前缀和
        }
  
        for (int i = 0; i < len; i++)//约定array[-1]==0为空集
        {
            for (int j = i+1; j <= len; j++)
            {
                ans=max(ans,sum[j]-sum[i]);//计算[i-1,j-1]的和
            }
        }
        return ans;
    };
  };

  算法3：动态规划

  算法思路

• 设dp[n]为以第n个数为结尾，得到的子数组的和的最大值

• 因为以第n个数为结尾所以array[n]是必然被选择的

• 基于dp[n-1]的值，如果dp[n-1]>0，我们加上这个正数，我们的值是不是必然会增大

• 如果dp[n-1]<0,那么我们加上负数，我们的值就会减小，这个时候我们不如不要前面的结果，只要当前这个数，结果反而更优

• 于是我们就得到了状态转移方程dp[n]=array[n]+(dp[n-1]>0?dp[n-1]:0)，实时跟ans比较，更新最大值即可

• 时间复杂度，空间复杂度（定义了一个dp数组）

  优化算法（空间复杂度）

• 我们可以发现当前状态只跟上一个状态有关，所以我们可以只用一个int来代替dp数组，即num

• 如果num<0，那么这个时候就num=array[i]

• 如果num>0，那么就num=num+array[i]

• 然后实时跟ans比较，更新最大值即可

• 时间复杂度，空间复杂度

  动画演示

  

  代码实现

  C++

  class Solution
  {
  public:
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array)
    {
        int now, ans;
        now = 0, ans = INT_MIN;
        for (int i = 0; i < array.size(); i++)
        {
            if (now < 0)//now<0,则舍去前面的
                now = array[i];
            else
            {
                now += array[i];//比0大则直接加上去
            }
            ans = max(now, ans);//更新ans
        }
        return ans;
    }
  };

  python

  class Solution:
    def FindGreatestSumOfSubArray(self, array):
        now=0
        ans=-1000000000
        for i in array:#此处i即代表array里面的第i个元素的值
            if now<0 :
                now=i#now<0,则舍去前面的
            else :
                now+=i
            ans=max(ans,now)#更新ans
        return ans